如图 已知等边△ABC的边长是4 D是边BC上的一个动点(与点B C不重合) 连接AD 作AD的垂直平分线分别与AB AC交

Question

如图 已知等边△ABC的边长是4 D是边BC上的一个动点(与点B C不重合) 连接AD 作AD的垂直平分线分别与AB AC交于点E F
（1）当△BDE是直角三角形时 求CD的长
（2）在点D移动过程中 △BDE和△CDF周长之比能否为3比2？若能 求CD长 若不能 说明理由。
请用初二上的知识来说明 谢谢！

Answer 1

1、设CD=x，
∵△ABC为等边三角形，且边长为4，∴BD=4-x，∠B=60°
∵△BDE为Rt△，∴∠DEB=90°（因为∠EDB和∠B永远都不可能为直角）
∵cos∠B=BE/BD=1/2，∴BE=(4-x)/2，∵sin∠B=ED/BD=√3/2，∴DE=√3(4-x)/2
∵EF为AD垂直平分线，∴AE=DE，∴AE=√3(4-x)/2
∵AB=AE+BE=4，∴√3(4-x)/2+(4-x)/2=4 解得：x=8-4√3，既CD=8-4√3

2、∵EF为AD垂直平分线，∴AE=ED，AF=DF
∴∠EAD=∠EDA，∠FAD=∠FDA，∴∠EAD+∠FAD=∠EDA+∠FDA
既∠EAF=∠EDF，∵△ABC为等边三角形，∴∠EAF=60°，∴∠EDF=60°
∵∠B=60°，∴∠EDF=∠B
∵∠BED=180°-∠B-∠EDB（三角形内角和），∠FDC=180°-∠EDF-∠EDB，
∴∠BED=∠FDC，∵∠B=∠C
∴△BED∽△CDF（这就意味着△BDE和△CDF周长之比可能为3:2），
∴三角形BED周长/三角形CDF周长=BE/DC=BD/CF=ED/FD
∵△BDE和△CDF周长之比为3:2，∴BE/DC=BD/CF=ED/FD=3/2
设CD=2x，
∵BE/DC=3/2，∴BE=3x，∵BD=BC-CD，BC=4，∴BD=4-2x，
∵BD/CF=3/2，∴FC=(8-4x)/3，∵AF=AC-FC，AC=4，∴AF=4-(8-4x)/3
∵AE=AB-BE，AB=4，∴AE=4-3x，
∵AE=ED，AF=DF，ED/FD=3/2，∴AE/AF=3/2
既(4-3x)/(4-(8-4x)/3)=3/2，解得：x=2/5
∴CD=2x=4/5

Answer 2

解：（1）∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF．
∴C_△BDE+C_△CDF=BE+BD+DE+CD+DF+CF=BC+AC+AB．
∵BC=nC=nB=4，
∴C_△BDE+C_△CDF=12．

（2）∵CD=x，BC=4，
∴BD=4-x．
∵D3=A3，
∴C_△BDE=AB+BD，即y=8-x．
定义域为0＜x＜4．

（3）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°．
①当∠BED=90°时，∠BDE=30°，
∴BE=

1 2

BD=

1 2

（4-x），DE=

3 2

（4-x），
∵BE+DE=4，
∴

0 2

（4-x）+

3 2

（4-x）4，
解得x=8-4

8

．
②当∠EDB=90°时，∠BED=30°，
∴BE=2BD=2（4-x），DE=

3

（4-x），
∵BE+DE=4，
∴2（4-x）+

3

（4-x）=4，
解得x=4

3

-4．
综上所述，当△BDE是直角三角形时，CD的长为8-4

3

或4

3 -4.