高数问题一个！！高手进

Question

当X趋于0时，a(x)=kx^2与b(x)=(1+xarcsinx)^(1/2) -(cosx)^(1/2)是等价无穷小，求k
求详解！！

Answer 1

K=3/4.
首先将arcsinx用等价无穷小x代换（用了arcsinx与x在x-->0时是等价无穷小这一结论，要证也很容易），然后分子分母使用洛必达法则两次可以得到：2K/(1+1/2),
令2K/(1+1/2)=1（等价无穷小即它们只比为1），即得k=3/4
具体洛必达你自己认真求导就可以了。追问

(1+xarcsinx)^(1/2) -(cosx)^(1/2)求导后怎么会是1+1/2啊
再说等价无穷小不能这么用啊，加减之间

追答

当lim(x-->0) 1/(-xarcsinx)≠1时，加减之间就可以像乘除之间一样使用等价无穷小代换。所以这里是可以代换的。
代换之后是(1+x^2)^(1/2) -(1-(x^2)/2)^(1/2). (其中arcsinx～x，cosx～1-(x^2)/2. )
这时求导一次仍为0/0型，再求导一次后即得2K/(1+1/2)。

Answer 2

这典型的高数题，随便找本参考书就可以了。