对于例1, 已知f(x)是一次函数,告诉你了函数类型,这是一种较简单的问题,即可直接设f(x)=kx+b(k≠0),(即用待定系数法设出函数)列出方程得3[k(x+1)+b]-(kx+b)=2x+9然后整理得到(2k-2)x+2b-6=0这个式子要对于任何实数x都要成立,只能是2k-2=2b-6=0,得k=1,b=3所以f(x)=x+3。总结:已知函数类型求解析式,先通过待定系数法设出函数,然后代入已知条件,根据函数恒成立解出待定系数,问题解决。
对于例2,思考方式是,求函数解析式,即已知一个数a,如何去求f(a)呢?所以我们开始尝试,将a代入已知条件,即有2f(a)+f(1/a)=3a,这个式子中,我们将3a看成常数,而f(a)是我们要求的量,但是这里多了一项f(1/a),显然根据这个方程无法将f(1/a)求出,为了获得f(1/a)的信息,我们将1/a代入已知,得2f(1/a)+f(a)=3/a,这样,我们得到了另一个关系,而正好这个关系中又含有f(a),所以我们可以将2f(a)+f(1/a)=3a,2f(1/a)+f(a)=3/a,这两个式子看为关于f(a)和f(1/a)的方程组,即可解出f(a)
总结:这是一种很经典的通过方程思想求函数解析式的问题,但是这种类型的题目较少,只要掌握好例2就能对这种题有很好的把握。
例3是一道较为综合的题目,要解决好这种题,首先会解决另一种题型,即
已知f(2x+1)=6x,求f(x),这种题的做法依然是,首先将函数解析式问题看作,已知一个数k,怎样求f(k)?,由已知条件我们得到f(2x+1)=6x,那我们的思路是,如果能找到一个数x,使得当x代入条件时,等式左边就能得到f(k),这样问题就解决了。于是我们采用换元思想,令2x+1=k,解出x=(k-1)/2,这样一来,我们用(k-1)/2代入f(2x+1)=6x,得到f(k)=3k-3,由于这样的k是任意的,我们就可以得出f(x)=3x-3
下面我们来解决例3,这是一道抽象函数题,题中的对一切实数x,y都成立,告诉我们我们可以任意取x,y来获得我们想要的结果,即我们会使用赋值法。赋值的准则是让代有f符号的部分尽量简单,而不需考虑y(2x-y+1)这部分结构,因为这部分是我们要求的,再复杂也无所谓。
考虑上一种题型,我们知道,只要能写出只含一个f符号且只有一个未知数的式子,我们就能求出解析式。于是我们对f(x-y)=f(x)-y(2x-y+1)赋值,赋值的方法是使一些带f的项消掉,比如另y=0,但我们得到的结果是0=0,对解题无益,于是我们采用第二种方法,即使某些带f的项能够算出来,这是根据题目条件而定的,本题的条件是f(0)=1,所以我们可以让x-y或者x中任何一项为0都行,这样带f的项就可以被1代替,从而得到化简。比如我们可以让x-y=0,即y=x,所以我们化简有f(0)=f(x)-x(2x-x+1)即有f(x)=x(x+1)+1=x^2+x+1
当然也可以另x=0,得到f(-y)=1-y(-y+1),根据上一道题的做法就可以求出相同的解析式。
总结:这种赋值法的题不用怕,变量越多其实越好,我们可以任意赋值,然后使题变为只有一个变量且只有一个代f符号的题,这样题目就可以迎刃而解
其实楼主总结得已经很全面了,大体来说普通求函数解析式的题就是这么四种类型。当然有更难的题,但是那种难度的题在竞赛里面才会有所体现,如果楼主学有余力可以自己学习,祝楼主学习愉快!
追问谢谢你,非常详细明白~~