如何用积分的方法求旋转体的体积？

Question

如题所述

Answer 1

为了求出该图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积，我们可以将其分解为无数个圆柱体，然后对每个圆柱体的体积进行积分求和。
首先，我们可以将x轴分成若干个小段，每个小段的长度为dx。对于每个小段，其所对应的圆柱体的体积可以表示为：
dV = πy^2 dx
其中，y=x^2-x是该小段所对应的抛物线与直线所围成的图形的高度，也即该小段所对应的圆柱体的半径。
因此，该图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积可以表示为：
V = ∫[0,1] πy^2 dx
= ∫[0,1] π(x^2-x)^2 dx
对上式进行积分，得到：
V = π/30
因此，该图形绕x轴旋转一周所成的旋转体的体积为π/30。