级数条件收敛，绝对收敛的判断，求具体步骤解析，如图第四题

Question

如题所述

Answer 1

sin((n²+nα+1)π/n) = sin(nπ+(α+1/n)π) = (-1)^n·sin((α+1/n)π).
当n → ∞, 有sin((α+1/n)π) → sin(απ).
级数收敛的一个必要条件是通项趋于0, 这要求sin(απ) = 0.
故α不为整数时级数发散, D不正确.

当α为整数时, (-1)^n·sin((α+1/n)π) = (-1)^n·sin(απ+π/n) = (-1)^(n+α)·sin(π/n).
这是一个交错级数, 且当n > 1, 通项的绝对值sin(π/n)对n单调递减趋于0.
根据Leibniz判别法, 级数收敛, A不正确.

当α为整数时, |sin((n²+nα+1)π/n)| = sin(π/n).
lim{n → ∞} sin(π/n)/(1/n) = π, 即sin(π/n)与1/n是同阶无穷小.
而正项级数∑1/n发散, 根据比较判别法, ∑|sin((n²+nα+1)π/n)| = ∑sin(π/n)也发散.
因此级数不是绝对收敛的, B不正确.
收敛而不绝对收敛即条件收敛, C正确.