为什么梯度的方向是等值面法线方向

Question

如题所述

Answer 1

真不知道上面那些回答的人有没有认真看过梯度的定义，估计是复制黏贴来的吧，居然还有人点赞。。。

首先问题应该是错了，二元函数中，正确表述是梯度是等值线的法向量，梯度不可能和等值面正交，梯度和等值面是平行的（或者就在等值面内）。

以下是不严谨的证明：以二元函数为例，设函数z=f(x, y)。那么它在点 P上的梯度向量为:V1=(fx(P), fy(P))。设等值线函数为且过点P，根据隐函数求导法则，可以求出等值线函数在点P处的导数为:-fx(P)/fy(P)。于是可以设一个向量 V2=(1, -fx(P)/fy(P))  ，然后就会发现V1和V2两个向量内积为0，两个向量正交。

在三元函数中，等值线升维成等值面，梯度依然是法向量，证明方法同上。

Answer 2

所谓梯度的方向，是函数值增大最快的方向，从一条等值线到下一条等值线，斜着走是不是需要走更远的路？那就不是最快的方向，只有处处垂直等值线，才会在走同样的距离的情况下，跨过最多的等值线。追答

也就是函数值增量最大

本回答被提问者采纳

Answer 3

所谓梯度的方向，是函数值增大最快的方向，从一条等值线到下一条等值线，直观上能理解斜着走需要走更远的路，最快的方向自然是垂直等值线的方向。

Answer 4

简单来说，梯度方向是函数增长最快的方向，很显然增长最快的方向是过该点的等量面的法线方向，所以，函数在一点的梯度方向是这点的法线方向

Answer 5

某点的梯度是该点最大的方向导数，此方向与等值面垂直！本回答被网友采纳