求高手解释F(x,y,z)求偏导时，为什么有时将X看作自变量，YZ为因变量，有时是XY为自变量Z为因变量，如下

Question

比如曲线z=x^2+y^2,x^2+2y^2+3z^2=1，求其dy/dx和dz/dx就将X看作自变量，YZ为因变量，而如果对于z=f(x,y)用重积分求面积时求fx(x,y)和fy(x,y)是XY为自变量Z为因变量这搞的好昏啊，到底是什么关系啊，还有比如x^2+y^2+z^2=1，求z对x偏导=-Fx/Fz，这个Fx是2x,为何这里YZ又看为常熟，不看为自变量或因变量？

Answer 1

问题的关键就是你要知道谁是自变量，谁是因变量。
这个问题很好解决：如果你将其看成是隐函数，那么方程就决定了
函数关系，比如第一个例子，两个方程，三个未知数，
由两个方程可解出两个未知数，也就是只有一个是自变量。
题目明确说了，求dy/dx，dz/dx，那么x就是自变量，
y，z就是因变量。
第三个例子类似，x^2+y^2+z^2=1，一个方程，可解出一个未知数，
所以z是x，y的函数。于是可以求az/ax。
在求az/ax时，你可以方程两边同时对x求导，遇到z的地方注意z是
x的函数就可以了。这是一种做法，另外一种做法就是记公式，
就是你写得－Fx/Fz。这种写法天然的的已经不考虑方程了。
因为F＝x^2+y^2+z^2－1，不是方程了，就没有谁是因变量了，
全是自变量。
第二个例子跟上面类似，z＝f(x，y)是函数关系，当然x，y是自变量了。追问

关于平面曲线法向量切向量问题，如x^2+y^2=1对其求导Fx=2x Fy=2y那么带入每一点可得曲线法向量,这么算出曲线法向量只是在下一个巧合还是的确如此呢？为何在空间曲线时，Fx,Fy,Fz表现的却是切向量而不是法向量了

追答

在空间中F是曲面，Fx，Fy，Fz是切平面的法向量。不是切向量。