解：
令F（x,y,z）=x²+y²-z
曲面法向量为n=（Fx，Fy，Fz)=（2x，2y，-1）
Fx，Fy，Fz分别为F（x,y,z）对x，y，z的偏导数
把点（1,1,2）代入可得
方向向量n=（2.2.-1）
令F（x，y，z）=xy-z
则Fx′=y，Fy′=x，Fz′=-1
曲面在P（1，2，2）处的法向量为：n =（Fx′，Fy′，Fz′）|P=（2，1，-1）
切平面方程为：2（x-1）+（y-2）-（z-2）=0
即：2x+y-z=2
所以：（2，1，-1），2x+y-z=2
性质：
在空间坐标系内，平面的方程均可用三元一次方程Ax+By+Cz+D=0来表示。由于平面的点法式方程A(x-x0)+B(y-y)+C(x-x)=0是x,y,x的一次方程，而任一平面都可以用它上面的一点及它的法线向量来确定,所以任何一个平面都可以用三元一次方程来表示。
设平面方程为Ax+By+Cz+D=0,若D不等于0，取a=-D/A,b=-D/B,c=-D/C,则得平面的截距式方程：x/a+y/b+z/c=1 。它与三坐标轴的交点分别为P(a,0,0),Q(0,b,0),R(0,0,c)，其中，a,b,c依次称为该平面在x,y,z轴上的截距。
三点求平面可以取向量积为法线，任一三元一次方程的图形总是一个平面，其中x,y,z的系数就是该平面的一个法向量的坐标。
两平面互相垂直相当于A1A2+B1B2+C1C2=0，两平面平行或重合相当于A1/A2=B1/B2=C1/C2。点到平面的距离=abs(Ax0+By0+Cz0+D)/sqrt(A^2+B^2+C^2)面内外两点连线在法向量上的映射Prj(小n)(带箭头P1P0)=数量积。
当动线按照一定的规律运动时，形成的曲面称为规则曲面；当动线作不规则运动时，形成的曲面称为不规则曲面。形成曲面的母线可以是直线，也可以是曲线。如果曲面是由直线运动形成的则称为直线面(如圆柱面、圆锥面等)；由曲线运动形成的曲面则称为曲线面(如球面、环面等)。直线面的连续两直素线彼此平行或相交(即它们位于同一平面上)，这种能无变形地展开成一平面的曲面，属于可展曲面。如连续两直素线彼此交叉(即它们不位于同一平面上)的曲面，则属于不可展曲面。
曲面的表示法和平面的表示法相似，最基本的要求是应作出决定该曲面各几何元素的投影，如母线、导线、导面等。此外，为了清楚地表达一曲面，一般需画出曲面的外形线，以确定曲面的范围。
这根运动的直线或曲线，称为曲面的母线；曲面上任一位置的母线称为素线。母线运动时所受的约束，称为运动的约束条件。在约束条件中，控制母线运动的直线或曲线称为导线；控制母线运动的平面称为导平面。