已知:如图,两个半径长为r的等圆⊙O1和⊙O2外切与点P,A是⊙O1上的一点,BP⊥AP,BP交⊙

Question

已知:如图,两个半径长为r的等圆⊙O1和⊙O2外切与点P,A是⊙O1上的一点,BP⊥AP,BP交⊙O2于点B.求证:AB=2R.

Answer 1

延长BP交⊙O1于C。
∵AP⊥BP，∴AP⊥CP，∴AC是⊙O1的直径，∴AC＝2r，且O1为AC的中点。
∵AP⊥CP，∴∠PCO1为锐角。
∵BO2＝PO2，∴∠PBO2＝∠BPO2，∴∠PBO2为锐角。
又PO1＝PO2，⊙O1、⊙O2是等圆，且∠PCO1、∠PBO2都是锐角，∴∠PCO1＝∠PBO2。
由∠PCO1＝∠PBO2、∠CPO1＝∠BPO2、PO1＝PO2，得：△CPO1≌△BPO2，∴CP＝BP。
由AP⊥BC、CP＝BP，得：AB＝AC，而AC＝2r，∴AB＝2r。