一道拉格朗日乘数法问题

求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体。
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第1个回答 2015-12-28

拉格朗日乘数法是用来解决条件极值问题的常用方法：

当然，拉格朗日法对二元函数、或者是三元以上函数求条件极值也是适用的。

拉格朗日法的原理：

以三元函数为例，取极值的时候 F(x,y,z) 的等值面与 Φ(x,y,z) 等值面是相切的，因此他们在极值点处的法向量平行。拉格朗日法的方程就是在此原理上得出的。

第2个回答 2015-04-02

V=xyz
x^2+y^2+z^2=4a^2
F(x,y,z)=xyz+λ(x^2+y^2+z^2-4a^2)
所有F方程的偏微分设为零,得到一个方程组:
yz+2λx=0
xz+2λy=0
xy+2λz=0
而:x^2+y^2+z^2=4a^2
解方程组,得:
x=y=z=(2/3)(根号3)a
最大体积=xyz=(8/9)(根号3)a^3本回答被提问者采纳

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