(1+1/n)的n+a次方 对于任意n 属于正整数恒小于等于e 求解a的取值范围

Question

如题所述

Answer 1

不等式两侧同取对数，
则a≤1/ln(1+1/n)-n,
设f(x)=1/ln(1+x)-1/x，x=1/n
f‘(x)＝1/[1/(1+x)] ×[-1/ (1+x)]² +1/x²
＝--1/(1+x)+1/x²
＝(x+1-x²)/[(1+x)x²]
因为，x=1/n，n为正整数
所以，0<x≤1
x+1-x²>0
(1+x)x²>0
f'(x)>0
所以，f(x)在0<x≤1时，为增函数
则，f(x)≤f(1)＝1/(ln2) －1
令x＝1/n，则
a≤f(1/n)≤1/(ln2) －1
所以，
a的取值范围为，a≤1/(ln2) －1追问

1/ln(1+x) 这个的导数好像不太对吧？难道不是（-1）/{(x+1)*[ln（1+x)]^2}吗？
根据复合函数求到这个

追答

不好意思，那一步的倒数确实求错了，重新做一遍。

不等式两侧同取对数，
则a≤1/ln(1+1/n)-n,
设f(x)=1/ln(1+x)-1/x，x=1/n
f‘(x)＝-1/[ln(1+x)]² +1/x²
＝[1/x +1/ln(1+x)][1/x -1/ln(1+x)]]
＝[1/x +1/ln(1+x)]{[ln(1+x)-x]/xln(1+x)}
因为，x=1/n，n为正整数
所以，00
ln(1+x)>0
设，g(x)=ln(1+x)-x （0<x≤1）
g‘(x)=1/(1+x) －1=-x/(1+x)<0
所以，g(x)为减函数，g(x)<g(1)=0
即，ln(1+x)-x<0
所以，f'(x)<0，f(x)在0<x≤1时，为减函数
则，f(x)≥f(1)＝1/(ln2) －1
令x＝1/n，则 f(1/n)≥1/(ln2) －1
又，a≤f(1/n)恒成立
所以，
a的取值范围为，a≤1/(ln2) －1

这次应该没问题了，我看你还提了两个一样的问题
如果你能认可我的解答，我想把那两道也回答了
省得浪费了你的悬赏
这题还真是挺麻烦的，就作为对我的鼓励吧

追问

呵呵！只要你做对 悬赏都给你 不过你要知道
你这步1/ln(1+x) 求导还是不对 复合函数求导
[ln(1+x)]^-1 的导数是 {-1/ [ln(1+x)]^(2) } * ‘ [ln(1+x)] 吧
‘ ln（1+x） 这一步你漏了 复合函数的对内求导

帮帮忙吧 帮我好好做一下吧

追答

应该是对的
1/ln(1+x)求导
设1＋x＝u
相当于先对1/lnu求导，再对u求导（u'＝1）
＝ -1/[ln(1+x)]²

追问

不是吧 第一步不是应该对 a^(-1) 求导 再乘以a的导数 a的导数不是1/（1+x）
你到我其他问题上答题吧 我不能在追问了
对同一回答者追问超过3条后每次将消耗10个财富值

追答

导数又求错了，再做第三遍

不等式两侧同取对数，
则a≤1/ln(1+1/n)-n,
设f(x)=1/ln(1+x)-1/x，x=1/n
f‘(x)＝-1/[ln(1+x)]²[1/(1+x)] +1/x²
＝{[ln(1+x)]²(1+x)-x²}/{[x²{[ln(1+x)]²(1+x)} （通分）

因为，x=1/n，n为正整数
所以，00
分母>0，讨论分子
设，g(x)=[ln(1+x)]²(1+x)-x² （00，只讨中论括号里面的
设t(x)＝ln(1+x)－x
t’(x)＝1/(1+x) －1＝-x/(1+x)<0，0<x≤1
所以，t(x)<t(0)＝0
所以，g''(x)<0
g'(x)<g‘(0)＝0
所以，g(x)<g(0)=0
所以，f'(x)<0，
f(x)在0<x≤1时，为减函数
则，f(x)≥f(1)＝1/(ln2) －1
令x＝1/n，则 f(1/n)≥1/(ln2) －1
又，a≤f(1/n)恒成立
所以，
a的取值范围为，a≤1/(ln2) －1

这次怎么样，搞了半天

Answer 2

楼上正解追问

1/ln(1+x) 这个的导数好像不太对吧？难道不是（-1）/{(x+1)*[ln（1+x)]^2}吗？
根据复合函数求到这个