(1+1/n)的n+a次方 对于任意n 属于正整数恒小于等于e 求解a的取值范围 请用高中数学详细解释 能否用导数做？

Question

如题所述

Answer 1

不等式两侧同取对数，
则a≤1/ln(1+1/n)-n,
设f(x)=1/ln(1+x)-1/x，x=1/n
f‘(x)＝-1/[ln(1+x)]²[1/(1+x)] +1/x²
＝{[ln(1+x)]²(1+x)-x²}/{[x²{[ln(1+x)]²(1+x)} （通分）

因为，x=1/n，n为正整数
所以，0<x≤1
ln(1+x)>0
分母>0，讨论分子
设，g(x)=[ln(1+x)]²(1+x)-x² （0<x≤1）
g‘(x)=2ln(1+x)×1/(1+x)×(1+x)＋[ln(1+x)]² －2x
=2ln(1+x)+[ln(1+x)]² －2x
g''(x)＝2/(1+x)+2ln(1+x)×1/(1+x)－2
＝2/(1+x)×[1+ln(1+x)-(1+x)]
＝2/(1+x)×[ln(1+x)-x]
1+x>0，只讨中论括号里面的
设t(x)＝ln(1+x)－x
t’(x)＝1/(1+x) －1＝-x/(1+x)<0，0<x≤1
所以，t(x)<t(0)＝0
所以，g''(x)<0
g'(x)<g‘(0)＝0
所以，g(x)<g(0)=0
所以，f'(x)<0，
f(x)在0<x≤1时，为减函数
则，f(x)≥f(1)＝1/(ln2) －1
令x＝1/n，则 f(1/n)≥1/(ln2) －1
又，a≤f(1/n)恒成立
所以，
a的取值范围为，a≤1/(ln2) －1

Answer 2

不等式两侧同取对数，则a<=1/ln(1+1/n)-n,设其为x的函数，利用求导，单调性即可求出a<=1/ln2-1
设f(x)=1/ln(1+x)-1/x,再令x=1/n追问

单调性即可求出a<=1/ln2-1
能不能给出详细过程
我也是这么做的
但算不下去

Answer 3

两边同时乘以n+a方
即证明e^(n+a)-1/n-1>0恒成立
令f(x)=e^(n+a)-1/n-1在n属于正数上是单调递增的所以
f(1）>0即a>根号2-1追问

条件 （1+1/n)的n+a次方