数学难题：x+x^2+x^4+x^8+……+x^2^n 该如何求和呢？就是X的指数部分是一个等比数列。请各位数学高手指点啊

Question

1.如果能像等差数列，等比数列那样给一个求和公式是最好不过了；
2.如果不能求和，能否给一个近似的估值表达式？
3.这类问题有哪方面的资料可供参考？

Answer 1

你好!

“数学之美”团员448755083为你解答！

变量代换
tn = lnx^(2^n) = (2^n)lnx
关键步骤：e^x 的幂级数
an = x^(2^n) = e^(tn) = 1 + tn + (tn)^2/2! + (tn)^3/3! + ... + (tn)^n/n! + ...

a0 = e^(t0) = 1 + lnx + (lnx)^2/2! + (lnx)^3/3! + ... + (lnx)^n/n! + ...
a1 = e^(t1) = 1 + (2lnx) + (2lnx)^2/2! + (2lnx)^3/3! + ... + (2lnx)^n/n! + ...
a2 = e^(t2) = 1 + (4lnx) + (4lnx)^2/2! + (4lnx)^3/3! + ... + (4lnx)^n/n! + ...
...
an = e^(tn) = 1 + [(2^n)lnx] + [(2^n)lnx]^2/2! + [(2^n)lnx]^3/3! + ... + [(2^n)lnx]^n/n! + ...

Sn = n +
[2^(1×0) + 2^(1×1) + 2^(1×2) + 2^(1×3) +...+ 2^(1×n)]·(lnx)^1/1! +
[2^(2×0) + 2^(2×1) + 2^(2×2) + 2^(2×3) +...+ 2^(2×n)]·(lnx)^2/2! +
[2^(3×0) + 2^(3×1) + 2^(3×2) + 2^(3×3) +...+ 2^(3×n)]·(lnx)^3/3! +
...
[2^(n×0) + 2^(n×1) + 2^(n×2) + 2^(n×3) +...+ 2^(n×n)]·(lnx)^n/n! +
...
n≥1

数列2^(n×0) + 2^(n×1) + 2^(n×2) + 2^(n×3) +...+ 2^(n×n)是首项为1，公比为2^n的等比数列

前n项和公式为An=[1-(2^n)^n]/(1-2^n)

因此可得
Sn
= n + A1·(lnx)^1/1! + A2·(lnx)^2/2! + A3·(lnx)^3/3! + .....
= n + ∑An·(lnx)^n/n!

这个题目的关键在于想办法将单项的乘方提出来作为系数才能求和。

尽管如此，还是只能用无穷级数来表示，代入具体数字求的时候取前面若干项进行计算得到近似值。

至于资料吗，我也没有，就是自己做出来的 = _ = ~

如果推导有问题可以再向我反馈。

如满意，请采纳，并加赞同；
不满意，请反馈，“数学之美”与你共同进步！追问

非常感谢“数学之美”团员448755083为我解答了本题，你的思路是正确的，但中间一些小的细节不是很完善。1、这个数列有n+1项，你在求和时误以为是n项；2、和式Sn = n + A1·(lnx)^1/1! + A2·(lnx)^2/2! + A3·(lnx)^3/3! + .....= n + ∑An·(lnx)^n/n! 有误；3、还是十分感谢你能想出这么巧妙的变形，用幂级数展开来求和，精彩。
你再修改一下你的解答，我就选为最佳答案，并赞同。
谢谢
华师数学系一学子

追答

关于你的追问：
第一、确实在写的时候将S(n+1)写成了Sn。

第二、关于和式的(lnx)^n/n!的系数的问题，我看了一下，确实是存在问题，感谢指正。
S(n+1) = n +
[2^(1×0) + 2^(1×1) + 2^(1×2) + 2^(1×3) +...+ 2^(1×n)]·(lnx)^1/1! +
[2^(2×0) + 2^(2×1) + 2^(2×2) + 2^(2×3) +...+ 2^(2×n)]·(lnx)^2/2! +
[2^(3×0) + 2^(3×1) + 2^(3×2) + 2^(3×3) +...+ 2^(3×n)]·(lnx)^3/3! +
...
[2^(N×0) + 2^(N×1) + 2^(N×2) + 2^(N×3) +...+ 2^(N×n)]·(lnx)^N/N! +
...
N是向无穷延伸的
(lnx)^N/N!的系数T(N)是首项为1，公比为2^N的等比数列的前n+1项和
T(N)=[1-(2^N)^(n+1)]/(1-2^N)
因此
S(n+1) = n+ ∑[T(N)(lnx)^N/N!]

Answer 2

原式 x+x^2+x^4+x^8+……+x^2n 另t=x^2 那么得t^(1/2)+t^1+t^2+t^3+......+t^n

即 t^(1/2) + (t^1+t^2+t^3+......+t^n) 那么原式就变成一个简单的等比和数列了。。。

带入等比和公式 得t^(1/2)+ t(1-t^n)/(1-t) 带入t=x^2 得x+ (x^2)(1-x^2n)/(1-x^2)追问

你看错题了，谢谢你的回答。

Answer 3

按照你的意思，这个题真的不好搞，不知道你为什么要问这个问题，是做研究的时候遇到的吗？X如果在（-1,1）之间或许还能讨论，如果是做研究的话，这个就可以用编程来算出结果，但是没有式子。递推公式是an=a(n-1)^2,a1=x然后编程求和即可。追问

谢谢你的回答，这个题目是写论文需要的：当时想当指数部分是等差数列时可以求和，所以就想到了当指数部分是等比数列时该怎么求和呢？所以搞了个特殊情形，就想啊想！想了变量代换，求导再积分，但没想出来！
另外，你给的递推公式是错误的，我是华师数学系的，编程不感兴趣。

追答

递推公式明显是正确的，还说是错误的。（x^8）^2=x^16,有错误？那你说递推公式是怎样的？这个只要过了2级C语言，编这个毫无难度。

追问

十分感谢！我们理解的递推公式不一样！编程对我们的论文意义不大，谢谢了。

Answer 4

1.当x=0或者1时，显然其结果为n+1；（必须讨论的，这两个数不能用等比求解）
2.当x=—1时，此时结果会是n-1；
3.当x等于上面几个式子时，其实全部化简后就会发现是x²的等比数列，则
s=x²(1-x²(n +1))/(1-x²)
上面那个是x平方的（n+1）次方
做这种题主要是要观察其相同的，然后要注意讨论
没明白可以再问我，呵呵追问

你看错题了，谢谢你的回答。

追答

我懂你的那个意思的
就是：（x²）º+（x²）¹+（x²）²+（x²）³+。。。。+
你就会发现是这个了，等于你那个原式的。。。（根据指数的公式）

追问

你的第四项已经错了，我的是X^8，而你的是X^6，明白？我的QQ1223503862，不明白我再给你解释