1 + X + X^2 + X^3 + ...... + X^n = S

Question

已知 n 和 S，请问如何求出 X
一、请注意：不是求 S，也不是求 n，是求 X，请务必写出详细求解步骤，谢谢！二、这是一道中学数学题，中学生是无法建议老师去学学高等代数的，故请诸位自命清高、自以为是的数学评论家和教育评论家免开尊口，谢谢！

Answer 1

因为此为以X为公比，1为首项的等比数列，
所以
S=[X^(n+1)-1]/(X-1)
所以，得
X^(n+1)-SX+S-1=0
所求的X即为上述方程的解
但另一种算法——
无解，把（1 + X + X^2 + X^3 + ...... + X^n = S）*X，再减1 + X + X^2 + X^3 + ...... + X^n = S得到
X^（n*1）-1 = S（X-1），再把X^（n*1）分解公因式的（X-1)(X^n+X^n-1+X^n-2·····+1）=（X-1)S，所以（X-1)S-1=
（X-1)S，得到-1=0，所以无解。

Answer 2

解：由于n和S是已知数x是未知数从 得：1、当S=1时 x=0
2、当S！=1时（x！=0）*******************（a）
应用数学归纳法：
（1）当n=1是 1+x=S 当x所在数域包含 （S-1）下
（2）假设n=k时 有f（n）=1 + X + X^2 + X^3 + ...... + X^k = S
成立条件下 结合（a）等式同乘以非零数x然后再加1
x*（ 1 + X + X^2 + X^3 + ...... + X^n +1
= 1 + X + X^2 + X^3 + ......+X^n + X^（n+1）
=f(n+1)
=S+X^（n+1）**********归纳假设得+++++++++(b)
=xS
如果关于x的高次方程X^（n+1）-xS-S=0有解
则推理成立
也就是说 在（a）条件下等价于1 + X + X^2 + X^3 + ...... + X^n = S

最后可以确定的是X^（n+1）-xS-S=0一定可能有解。（通过分析（b）我们在高次相X^（n+1）收敛的范围中应用牛顿法求取x的关于S和n的比较苛刻的解。

Answer 3

解：
1 + X + X^2 + X^3 + ...... + X^n = S (1)
方程左右同乘以 X :
X + X^2 + X^3 + ...... + X^n + X^n+1 = SX (2)
(2)-(1):
X^n+1 -1 = S(X-1)
X^n+1 -SX + S -1 =0
这个方程>5没有初等解。
n+1=2解：{{x -> 1}, {x -> -1 + S}}
n+1=3解：
{{x -> 1}, {x -> 1/2 (-1 - Sqrt[-3 + 4 S])}, {x ->
1/2 (-1 + Sqrt[-3 + 4 S])}}
n+1=4解：
{{x -> 1}, {x -> -(1/3) + (2 2^(1/3))/(
3 (20 - 27 S + 3 Sqrt[3] Sqrt[16 - 40 S + 27 S^2])^(
1/3)) - (20 - 27 S + 3 Sqrt[3] Sqrt[16 - 40 S + 27 S^2])^(1/3)/(
3 2^(1/3))}, {x -> -(1/3) - (2^(1/3) (1 + I Sqrt[3]))/(
3 (20 - 27 S + 3 Sqrt[3] Sqrt[16 - 40 S + 27 S^2])^(
1/3)) + ((1 - I Sqrt[3]) (20 - 27 S +
3 Sqrt[3] Sqrt[16 - 40 S + 27 S^2])^(1/3))/(
6 2^(1/3))}, {x -> -(1/3) - (2^(1/3) (1 - I Sqrt[3]))/(
3 (20 - 27 S + 3 Sqrt[3] Sqrt[16 - 40 S + 27 S^2])^(
1/3)) + ((1 + I Sqrt[3]) (20 - 27 S +
3 Sqrt[3] Sqrt[16 - 40 S + 27 S^2])^(1/3))/(6 2^(1/3))}}
n+1=5解：

{{x -> 1}, {x -> -(1/4) +
1/2 \[Sqrt](-(5/12) + (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) + (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(1/3)/(
3 2^(1/3))) -
1/2 \[Sqrt](-(5/6) - (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) - (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(1/3)/(
3 2^(1/3)) -
5/(4 \[Sqrt](-(5/12) + (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) + (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)/(3 2^(1/3)))))}, {x -> -(1/4) +
1/2 \[Sqrt](-(5/12) + (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) + (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(1/3)/(
3 2^(1/3))) +
1/2 \[Sqrt](-(5/6) - (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) - (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(1/3)/(
3 2^(1/3)) -
5/(4 \[Sqrt](-(5/12) + (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) + (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)/(3 2^(1/3)))))}, {x -> -(1/4) -
1/2 \[Sqrt](-(5/12) + (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) + (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(1/3)/(
3 2^(1/3))) -
1/2 \[Sqrt](-(5/6) - (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) - (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(1/3)/(
3 2^(1/3)) +
5/(4 \[Sqrt](-(5/12) + (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(

1/3)) + (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)/(3 2^(1/3)))))}, {x -> -(1/4) -
1/2 \[Sqrt](-(5/12) + (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) + (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(1/3)/(
3 2^(1/3))) +
1/2 \[Sqrt](-(5/6) - (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) - (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(1/3)/(
3 2^(1/3)) +
5/(4 \[Sqrt](-(5/12) + (2 2^(1/3) (5 - 6 S))/(
3 (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)) + (-25 + 45 S -
3 Sqrt[3] Sqrt[-125 + 450 S - 565 S^2 + 256 S^3])^(
1/3)/(3 2^(1/3)))))}}
（完）

Answer 4

嗯，我就把你当作是高中生了呵,因此这里我就不推导等比数列的求和公式了。其实在我看来，这是一道基础题，考察学生对讨论的把握。
当x等于1时，
我们就不说了，你可以带进去看成立以否，应为这道题让我们求x
当x不等于1时，
左边等比数列求和，左边=(1-x^(n+1))/1-x=右边=s
整理等式可得到，x^(n+1)=s(x-1)+1
我们设h(x)=x^(n+1), g(x)=s(x-1)+1
然后作草图，因为接着你的讨论就开始了，有解还是无解，如果有节的话，是多少。(特征是h（x）为曲线，并且过点（0，0）（1，0） 而g(x)是一条过点（1，1）的直线)
讨论分为两大类，n为奇数还是偶数，来决定h(x)是奇函数还是偶函数，然后分别更具奇偶函数画出图，再转动g(x)，根据图像的特征来继续求解，比如相切这些关键位置啊，又要用到两方各自的导函数，都挺有意思的，试试吧，这就是出题者的意图了。详细的过程我不会给你写了，你去问老师的话，来得更加直接一些。

另外，我想对那些说这道题无解的人，你们真应该动下脑了，我把x取个有限值，n取个有限值，最后算出一个s，我们再反过来求x，这像是一道无解的题吗？
另外级数讨论的主要是极限的问题，无穷大，无穷小的时候，这里的用处其实不大，没人告诉你这里的n是无穷大。
还有这句话“用MATLAB软件都算不出来，你以为你比电脑还牛逼啊”，你很搞笑，你去给s和n赋一个有效的值，matlab会迭代不出来吗？你让matlab去解一个公式，我这是服了你了。
最后，这里没有人要让你用一个式子表示出答案，这就是一道普通中学题而已，我们为什么要用把它复杂化和神秘化呢，静下心好好想一想，总比武断地下个结论要好一些啊。

Answer 5

如果0<X<1，N较大，那么级数收敛于一个确定值，无论N多么大都可能达不到S
如X=0.5
S=3是，无论N是多少都是无解
可以看看《微积分》中关于无穷级数的部分 因为此为以X为公比，1为首项的等比数列，
所以
S=[X^(n+1)-1]/(X-1)
所以，得
X^(n+1)-SX+S-1=0
所求的X即为上述方程的解
但另一种算法——
无解，把（1 + X + X^2 + X^3 + ...... + X^n = S）*X，再减1 + X + X^2 + X^3 + ...... + X^n = S得到
X^（n*1）-1 = S（X-1），再把X^（n*1）分解公因式的（X-1)(X^n+X^n-1+X^n-2·····+1）=（X-1)S，所以（X-1)S-1=
（X-1)S，得到-1=0，所以无解。