已知函数f(x)=1/3x的三次方+2ax的二次方+3x 当函数f(x)在x=1处取得极值，求a 求实数a的取值范围...

Question

已知函数f(x)=1/3x的三次方+2ax的二次方+3x 当函数f(x)在x=1处取得极值，求a 求实数a的取值范围 已知函数f(x)=1nx–a/x 求f(x)的单调增区间 若函数f(x)在【1，e】上的最小值为3/2，求实数a的值

Answer 1

f'(x)=x^2+4ax+3

x=1处取得极值，即有f'(1)=1+4a+3=0,得到a=-1
(2)f(x)=lnx-a/x,(x>0)
f'(x)=1/x+a/x^2=(x+a)/x^2
(1)a>=0时，由于x>0,故有f'(x)>0,单调增区间是（0，+无穷）
（2） a<0时，f'(x)>0时有x>-a,即单调增区间是（-a,+无穷）
函数f(x)在[1，e]上的最小值是：3/2，则有：
（1）a>=0时，增区间是（0，+无穷），故有f(x)min=f(1)=0-a/1=3/2,a=-3/2<0,不符合，舍
（2）a<0时，在（0，-a)是单调减，在（-a,+无穷）上是单调增，故有f(x)min=f(-a)=ln(-a)+a/a=3/2
ln(-a)=1/2
-a=e^(1/2)
所以有：a=-根号e

Answer 2

f'(x)=x²+4ax+3
由题意得：f'(1)=0
即；4a+4=0
得：a=-1

f(x)=lnx-a/x，显然定义域为x>0
f'(x)=1/x+a/x²=(x+a)/x²>0
得：x>-a
（1）a≧0时，f(x)的递增区间为(0,+∞)；
（2）a<0时，f(x)的递增区间为(-a,+∞)；

a≧0时，f(x)在定义域上递增，则在【1，e】上也单调递增，
所以，f(x)在【1，e】上的最小值为f(1)=0-a=-a=3/2，得：a=-3/2，与a≧0矛盾，舍去。

a<0时，f(x)的递增区间为(-a,+∞)
则：
（1）-1<a<0，则0<-a<1，此时f(x)在【1，e】上递增，则f(1)=3/2，得：a=-3/2，舍去；
（2）-e≦a≦-1，则1≦-a≦e，此时f(x)在【1，-a】上递减，在【-a，e】上递增
则f(-a)=ln(-a)+1=3/2，
ln(-a)=1/2
-a=√e
a=-√e
满足-e≦a≦-1
所以，a=-√e可取
（3）a<-e，则-a>e，此时f(x)在【1，e】上递减，则f(e)=lne-a/e=1-a/e=3/2
-a/e=1/2
a=-e/2
不满足a<-e，舍去
综上，实数a的值是-√e

祝你开心！希望能帮到你，如果不懂，请Hi我，祝学习进步！