高中数学必修一函数的单调性

Question

已知函数f（x）的定义域为R，对任意实数m、n均有f（m+n）=f（m）+f（n）-1，且f（1/2）=2，又当x>-1/2时，有f（x）>0
（1） 求f（-1/2）的值
（2） 求证：f（x）是单调递增函数

Answer 1

解：
　　（1）根据f(m+n)=f(m)+f(n)-1有，
　　f(0)=f(0)+f(0)-1
　　即f(0)=1,
同理可得f(0)=f(1/2)+f(-1/2)-1=1+f(-1/2)=1
　　所以f(-1/2)=0。
　　（2） 设x1>x2 ,令x1-x2 = a >0,
则f(x1)-f(x2)=f(x2+a)-f(x2)=f(x2)+f(a)-1-f(x2)
=f(a)-1=f(a-1/2 +1/2)-1=f(a-1/2)+f(1/2)-2
=f(a-1/2)>0,(因为a-1/2>-1/2)
故f（x）是单调递增函数

Answer 2

Answer 3

1 f(0)=f(0)+f(0)-1,f(0)=1,
f(0)=f(1/2)+f(-1/2)-1=1+f(-1/2)=1,f(-1/2)=0,
2 设x1>x2 ,令x1-x2 = a >0,
则f(x1)-f(x2)=f(x2+a)-f(x2)=f(x2)+f(a)-1-f(x2)
=f(a)-1=f(a-1/2 +1/2)-1=f(a-1/2)+f(1/2)-2
=f(a-1/2)>0,(因为a-1/2>-1/2)
故f（x）是单调递增函数

Answer 4

1.f(1/2+1/2)=f(1/2)+f(1/2)-1可以知道f（1）=3;f(1-1/2)=f（1)+f(-1/2)-1可以知道f(-1/2）=0
2.f(0+0)=f(0)+f(0)-1可以知道f（0）=1，f（m+0）=f（m）+f（0）-1=f（m） 且f（m+1）=f（m）+f（1）-1=f（m）+2则知道f（m+1）>f（m+0）所以知道f（x）是单调递增函数