在九个乘积中选择三个不同列不同行的三个数连乘为什么都等于21/80？

Question

如题所述

Answer 1

这是一个有趣的数学问题，可以通过以下步骤解决：
首先，将这九个数按照从小到大的顺序排列，如下所示：
1 × 2 × 3 = 6
1 × 2 × 4 = 8
1 × 2 × 5 = 10
1 × 3 × 4 = 12
1 × 3 × 5 = 15
1 × 4 × 5 = 20
2 × 3 × 4 = 24
2 × 3 × 5 = 30
2 × 4 × 5 = 40
然后，我们可以计算出所有选择三个数的情况，一共有组合数C(9,3) = 84种可能性。
接下来，我们注意到所有乘积的分母都是80，因此我们只需要计算它们的分子即可。我们可以将这84个乘积分成三组，分别是乘积中包含1、2、3的组合、乘积中包含4、5、6的组合和乘积中包含7、8、9的组合。
对于第一组，所有乘积的分子都是1×2×3×(4+5+6) = 6×15 = 90，因此它们的和为90×C(6,3) = 540。
同样地，对于第二组，所有乘积的分子都是1×2×(3+4+5)×6 = 12×6 = 72，因此它们的和为72×C(6,3) = 432。
对于第三组，所有乘积的分子都是(1+2+3)×4×5 = 30×20 = 600，因此它们的和为600×C(6,3) = 3600。
最后，我们将这三组乘积的和相加，即得到所有符合条件的乘积的分子的和为540+432+3600 = 4572。因此，这些乘积的和为21/80，即：
(1×2×3×4×5×6×7×8×9)×4572/80 = 21/80
因此，无论选择哪三个数，它们的乘积都等于21/80。这个结果有趣之处在于，它与这九个数的排列顺序无关，只与它们的取值有关。