轴对称及作轴对称图形
点击一: 什么是轴对称？什么是轴对称图形？它们之间有什么区别？
有一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．两个图形关于直线对称也叫做轴对称．
如果一个图形沿某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．
轴对称是两个图形之间的关系，轴对称图形是一个图形具有的特征.毛
点击二: 图形的轴对称有哪些性质？
图形的轴对称主要有下列两条性质：⑴如果两个图形成轴对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线；轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线．⑵轴对称是指两个图形之间的形状与位置关系，成轴对称的两个图形是全等形；轴对称图形是一个具有特殊形状的图形，把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形是全等形，并且成轴对称．
点击三：线段的垂直平分线有什么性质？
线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；反过来，与一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．因此线段的垂直平分线可以看成与线段两个端点距离相等的所有点的集合．
点击四：对称变换性质及坐标对称规律
轴对称变换的性质：
（1）经过轴对称变换得到的图形与原图形的形状、大小完全一样
（2）经过轴对称变换得到的图形上的每一点都是原图形上的某一点关于对称轴的对称 点。
（3）连接任意一对对应点的线段被对称轴垂直平分．
点P（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，－y）；
点P（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（－x，y）；
点P（x，y）关于原点对称的点的坐标是（－x，－y）．
点P（x，y）关于直线x=m对称的点的坐标是（2m－x，y）；
点P（x，y）关于直线y=n对称的点的坐标是（x，2n－y）
类型之一:
例1：如图，已知：△ABC，直线MN，求作△A1B1C1，使△A1B1C1与△ABC关于MN对称．
【解析】首先做出关键的点关于直线的对称点．按照轴对称的概念，只要分别过A、B、C向直线MN作垂线，并将垂线段延长一倍即可得到点A、B、C关于直线MN的对称点，连结所得到的这三个点．
【答案】
作法：（1）作AD⊥MN于D，延长AD至A1使A1D＝AD，得点A的对称点A1
（2）同法作点B、C关于MN的对称点B1、、C1
（3）顺次连结A1、B1、C1
∴△A1B1C1即为所求
类型之二:
例2： 如图，牧童在A处放牛，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC、BD，
且AC＝BD，若A到河岸CD的中点的距离为500cm．问：
（1）牧童从A处牧牛牵到河边饮水后再回家，试问在何处饮水，所走路程最短？
（2）最短路程是多少？
【解析】所求问题可转化为在CD上取一点M使其AM+BM为最小；在上述基础上，利用三角形性质．实际问题要善于转化为数学问题.若A、B两点在直线的两侧，自然想到连结AB，交点即为所求的点，但本题的A、B在直线的同侧，如何转化为异侧呢？我们容易想到“翻折”即“轴对称”．若 点A关于直线的对称点A1，则对于直线上的任意点到A和A1的距离总相等．
【解答】问题可转化为已知直线CD和CD同侧两点A、B，
在CD上作一点M，使AM+BM最小，
先作点A关于CD的对称点A1，
再连结A1B，交CD于点M，
则点M为所求的点．
证明：（1）在CD上任取一点M1，连结A1M1、AM1、BM1、AM
∵直线CD是A、A1的对称轴，M、M1在CD上
∴AM＝A1M，AM1＝A1M1
∴AM+BM＝AM1+BM＝A1B
在△A1 M1B中
∵A1 M1+BM1＞AM+BN即AM+BM最小
（2）由（1）可得AM＝AM1，A1C＝AC＝BD
∴△A1CM≌△BDM
∴A1M＝BM，CM＝DM
即M为CD中点，且A1B＝2AM
∵AM＝500m
∴最简路程A1B＝AM+BM＝2AM＝1000m
类型之三:
例3：在锐角∠AOB内有一定点P，试在OA、OB上确定两点C、D，使△PCD的周长最短．
【解析】△PCD的周长等于PC+CD+PD，要使△PCD的周长最短，根据两点之间线段最短，只需使得PC+CD+PD的大小等于某两点之间的距离，于是考虑作点P关于直线OA和OB的对称点E、F，则△PCD的周长等于线段EF的长．
【解答】
作法：如图．①作点P关于直线OA的对称点E；
②作点P关于直线OB的对称点F；
③连接EF分别交OA、OB于点C、D．则C、D就是所要求作的点．
证明：连接PC、PD，则PC=EC，PD=FD．
在OA上任取异于点C的一点H，连接HE、HP、HD，则HE=HP．
∵△PHD的周长
=HP+HD+PD=HE+HD+DF>ED+DF=EF
而△PCD的周长
=PC+CD+PD=EC+CD+DF=EF
∴△PCD的周长最短．
1．如图，△ABC与△AED关于直线1对称，若AB=2cm，∠C=95°，则AE=____，∠D=___度．
【解析】两个三角形关于某直线对称,对应线段相等,对应角相等,可以得到AE=AB, ∠C=∠D,即可得以答案.
【答案】2cm；95
2．已知：如图，△ABC是等边三角形，延长BC至D，延长BA到E，使AE＝BD，连结CE、DE ． 求证：CE＝DE .
【解析】解题关键是作出正确的辅助线。要证CE＝DE，即证明E在CD的垂直平分线上即可，为此，我们构造出关于CD的垂直平分线的轴对称图形来证明．
【解答】
证明：延长BD至F，使DF＝BC，连结EF
∵AE＝BD， △ABC为等边三角形
∴BF＝BE， ∠B＝
∴△BEF为等边三角形
∴△BEC≌△FED
∴CE＝DE
3．如图，点D是△ABC中∠BAC的平分线和边BC的垂直平分线DE的交点，DG⊥AB于点G，DH⊥AC交AC的延长线于点H，求证BG=CH．
【解析】由AD平分∠BAC及DG⊥AB、DH⊥AC可以得到DG=DH（角平分线的性质），而DE是BC的垂直平分线，由线段垂直平分线的性质可得到BD=CD，于是可利用“HL”证明Rt△BDG≌Rt△CDH得到BG=CH．
【解答】
证明：连接BD、CD ∵点D在∠BAC的平分线上，又DG⊥AB、DH⊥AC；
∴DG=DH（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
∵DE是BC的垂直平分线
∴DB=DC（线段的垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等）
∵DG⊥AB、DH⊥AC ∴∠BGD=∠CHD=90°
在Rt△BDG和Rt△CDH中，
∴Rt△BDG≌Rt△CDH（HL） ∴BG=CH（全等三角形的对应边相等）
1．如图是用纸折叠成的图案，其中是轴对称图形的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解析】根据轴对称图形的特点判断:信封、飞机、裤子三个图案通过折叠能够完全重合.而褂子折叠后,有一部分能够重合,一部分不能够重合.
【解答】C
2．点M（－2，1）关于x轴对称的点N的坐标是________，直线MN与x轴的位置关系是___________．
【解析】某点关于x轴对称的点的坐标有x轴坐标不变,y轴上的坐标变为原来的相反数.两对称点的连线垂直于对称轴.
【解答】（－2，－1）；互相垂直.
3．已知两条互不平行的线段AB和A′B′关于直线1对称，AB和A′B′所在的直线交于点P，下面四个结论：①AB=A′B′；②点P在直线1上；③若A、A′是对应点，则直线1垂直平分线段AA′；④若B、B′是对应点，则PB=PB′，其中正确的是（ ）
A．①③④ B．③④ C．①② D．①②③④
【解析】根据关于某直线对称两个图形具备五个特点:1.对应线段相等,2.对应线段的延长线交于一点,并且在对称轴上,3.对称轴垂直平分对应点的连线4.交点到对应点的距离相等.来判断这个四点.
【解答】D
4. 数的运算中会有一些有趣的对称形式，仿照等式①的形式填空，并检验等式是否成立．
①12×231=132×21;
②12×462=___________;
③18×891=__________;
④24×231=___________.
【解析】264×21；198×81；132×42 .
【解答】根据轴对称的性质特点,数字之间也存在着对称,仿照对称形式.
如图，请写出△ABC中各顶点的坐标．在同一坐标系中画出直线m：x=－1，并作出△ABC关于直线m对称的△A′B′C′．若P（a，b）是△ABC中AC边上一点，请表示其在△A′B′C′中对应点的坐标．
【解析】直线m：x=－1表示直线m上任意一点的横坐标都等于－1，因此过点（－1，0）作y轴的平行线即直线m．画出直线m后，再作点A、C关于直线m的对称点A′、C′，而点B在直线m上，则其关于直线m对称的点B′就是点B本身．2×（－1）中的－1即对称轴x=－1．若对称轴不是x=－1，而是y=2，相信聪明的你是一定能作出对称的三角形的，也一定能发现其中坐标变化的规律。
【解答】
（1）△ABC中各顶点的坐标分别是A（1，4）、B（－1，1）、C（2，－1）
（2）如右图，过点（－1，0）作y轴的平行线m，即直线x=－1．
（3）如右图，分别作点A、B、C关于直线m对称的点A′（－3，4）、B′（－1，1）、C′（－4，－1），并对顺次连接A′、B′、C′三点，则△A′B′C′即为所求．
（4）观察发现三组对称点的纵坐标没有变化．而横坐标都可以表示为2×（－1）减去对应点的横坐标．所以点P的对应点的坐标为（－2－a，b）。
课时作业：
A等级
1．轴对称图形的对称轴是一条_____________。
2. 等腰三角形的一个内角为 ，则其它两个内角为_____________度。
3. 写出6个是轴对称图形的英文字母：_________________________ 。
4．写出五个具有轴对称性质的汉字：______ 。
5. 等腰三角形有_____________条对称轴；五角星有_____________条对称轴；角的对称轴是这个角的_________________；
6．下列说法错误的是( )
A.关于某条直线对称的两个三角形一定全等
B.轴对称图形至少有一条对称轴
C.全等三角形一定能关于某条直线对称
D.角是关于它的平分线对称的图形
7．下列图形中，是轴对称图形的为( )
8．下图所示的图案中，是轴对称图形且有两条对称轴的是( )
9．在锐角△ABC内一点P满足PA=PB=PC，则点P是△ABC( )
A.三条角平分线的交点 B.三条中线的交点
C.三条高的交点 D.三边垂直平分线的交点
10．△ABC中，AC＞BC，边AB的垂直平分线与AC交于点D，已知AC=5，BC=4，则△BCD的周长是( )
A.9 B.8 C.7 D.6
B等级
11. 平面上不重合的两点的对称轴是____ ____，线段是轴对称图形，它有_____________条对称轴。
12．一个等腰三角形有两边分别为4和8厘米，则周长是______ _______厘米。
13. 举出生活中具有轴对称性质的事物（至少三个）：_______________________。
14．若AC是等腰 ABC的高，则AC也是____ _______，还是___ ________。
15．等边三角形的周长是30厘米，一边上的高是8厘米，则三角形的面积为__________。
16．下列图形中，不是轴对称图形的是( )
A．等边三角形 B．等腰直角三角形
C．不等边三角形 D．线段
17．下列说法中，正确的是（ ）
A．关于某直线对称的两个三角形是全等三角形
B．全等三角形是关于某直线对称的
C．两个图形关于某直线对称，则这两个图形一定分别位于这条直线的两侧
D．有一条公共边的两个全等三角形关于公共边所在的直线对称
18．在线段、两条相交直线、等腰三角形和圆四个图形中，是轴对称图形的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．4个 D．3个
19．如图，DE是 ABC中AC边的垂直平分线，若BC=8厘米，AB=10厘米，则 ABC的周长为（ ）厘米
A．16 B．28 C．26 D．18
20．下列图形中，不是轴对称图形的是（ ）
A．有两条边相等的三角形 B．有一个角为 的Rt
C．有一个角为 的等腰三角形 D．一个内角为 ，一个内角为 的三角形
C等级
21．如图所示的标志中，是轴对称图形的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
22．下列平面图形中，不是轴对称图形的是( )
23．如图所示，以下四个图形中，对称轴条数最多的一个图形是( )
24如图，△ABC中，AB=AC=14cm，D是AB的中点，DE⊥AB于D交AC于E，△EBC的周长是24cm，则BC=_________．
25．互不平行的两条线段AB、 关于直线 对称，AB和 所在直线交于点P，下面结论：①AB= ；②点P在直线 上；③若点A、 是对称点，则 垂直平分线段 ；④若点B、 是对称点，则PB= ，其中正确的有 (只填序号).
26．当写有数字的纸条垂直于镜面摆放时(如图所示）：
下面是从镜子中看到的一串数 ，它其实是 .
27．如图是由三个小正方形组成的图形，请你在图中补画一个小正方形，使补画后的图形为轴对称图形。
28．分别找出具有一条对称轴、两条对称轴、三条对称轴、四条对称轴的几何图形，并画出来(包括对称轴）．
29．如图，△ABC和△ 关于直线m对称．
⑴结合图形指出对称点．
⑵连接A、 ，直线m与线段 有什么关系？
⑶延长线段AC与 ，它们的交点与直线m有怎样的关系？其它对应线段(或其延长线)的交点呢？你发现了什么规律，请叙述出来与同伴交流．
30．一个等腰三角形的一个内角比另一个内角的2倍少 ，求这个三角形的三个内角的度数。（考虑两种情况）
A等级答案
1．直线
2．35度，35度
3．ACDEHI
4．大，天，口，日，品，田
5．1，五，平分线
6．C
7．D
8．D
9．D
10．A
B等级答案
11．连结两点所得线段的垂直平分线，一
12．20厘米
13．天坛，黑板等
14．中线，顶角的平分线
15．40
16．C
17．A
18．C
19．D
20．B
C等级答案
21．C
22．A
23．B
24．10cm
25．①②③④
26．526778022
27．折痕两侧的部分关于折痕轴对称。参考图如下图：
28．如图所示：
29．⑴略；⑵m垂直平分AA/；⑶两个图形关于某条直线对称，如果它们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上．毛
30．第一种情况：52．5度，52．5度，75度；第二种情况：48度，66度，66度
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