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    • 如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A．求证：BD=2CD

    如图，在△ABC中，AB=AC，D是底边BC上一点，E是线段AD上一点且∠BED=2∠CED=∠A．求证：BD=2CD．

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    推荐答案   推荐于2018-03-11
    证明：作DO∥AB交AC于O．
    则由AB=AC易知OD=OC，且∠DOC=∠BAC=2∠CED，
    所以O为△EDC的外心，
    取F为△EDC的外接圆与AC的交点，连接DF，则OF=OC=OD，∠ACE=∠ADF．
    所以△ACE∽△ADF，即有
    AD
    AC
    =
    AF
    AE
    ．
    再由DO∥AB，∠ADO=∠BAE，
    ∠AOD=180-∠DOC=180°-∠A=180°-∠BED=∠AEB，
    所以△ADO∽△ABE，
    即得
    OD
    AE
    =
    AD
    AB
    =
    AD
    AC
    =
    AF
    AE
    ．
    故AF=OD=OC=
    1
    2
    CF，从而AO=2OC．
    由DO∥AB，得：BD=2CD．
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