△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B.C重合),△ADE是以AD为边

Question

△ABC是等边三角形,点D是射线BC上的一个动点(点D不与点B.C重合),△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB.AC于点F.G，连接BE
（1）如图（a）所示，当点D在线段BC上时
①试说明：△AEB全等于△ADC
②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由
（2）如图（b）所示，当点D在BC的延长线上时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形？并说明理由
（3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理由

Answer 1

（1）证明：因角EAB＋角BAD＝角BAD＋角DAC＝60度，所以角EAB＝角DAC，又EA＝DA，BA＝CA，故ΔAEB全等于ΔADC。于是角EBC＝角EBA＋角ABC＝角DCA＋角ABC＝120度。那么角EBC＋角BCG＝120度＋60度＝180度，于是EB//GC，又EG//BC，故BCGE为一平行四边形。 （2）BEGC仍为平行四边形。与（1）类似，容易证明：ΔABE全等于ΔACD，那么角ABE＝角ACD＝120度，于是角CBE＝角ACB＝60度，进而BE//GC，又BC//EG，从而得证。 （3）欲使其成为菱形，只须BE＝BC，又BE＝CD，故只须选取D点使BC＝CD即可。

Answer 2

证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC．（3分）
②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC．（5分）
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）
方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）
由①得△AEB≌△ADC．得BE=CG．
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）
（2）①②都成立．（8分）
（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．（9分）
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD（10分）
又∵CD=CB，
∴BE=CB．（11分）
由②得四边形BCGE是平行四边形，
∴四边形BCGE是菱形．（12分）
方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD．（9分）
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB（11分）
∴CD=CB．（12分）
方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°（9分）
∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．（10分）
又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG（11分）
∴∠EAG=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=30度．（12分）

Answer 3

证明：因角EAB＋角BAD＝角BAD＋角DAC＝60度，所以角EAB＝角DAC，又EA＝DA，BA＝CA，故ΔAEB全等于ΔADC。于是角EBC＝角EBA＋角ABC＝角DCA＋角ABC＝120度。那么角EBC＋角BCG＝120度＋60度＝180度，于是EB//GC，又EG//BC，故BCGE为一平行四边形。 （2）BEGC仍为平行四边形。与（1）类似，容易证明：ΔABE全等于ΔACD，那么角ABE＝角ACD＝120度，于是角CBE＝角ACB＝60度，进而BE//GC，又BC//EG，从而得证。 （3）欲使其成为菱形，只须BE＝BC，又BE＝CD，故只须选取D点使BC＝CD即可。

Answer 4

证明：（1）①∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AE=AD，AB=AC，∠EAD=∠BAC=60°．（1分）
又∵∠EAB=∠EAD-∠BAD，∠DAC=∠BAC-∠BAD，
∴∠EAB=∠DAC，
∴△AEB≌△ADC．（3分）

②方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴∠ABE=∠C=60°．
又∵∠BAC=∠C=60°，
∴∠ABE=∠BAC，
∴EB∥GC．（5分）
又∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）

方法二：证出△AEG≌△ADB，得EG=AB=BC．（5分）
∵EG∥BC，
∴四边形BCGE是平行四边形．（6分）

（2）①②都成立．（8分）

（3）当CD=CB （∠CAD=30°或∠BAD=90°或∠ADC=30°）时，四边形BCGE是菱形．（9分）
理由：方法一：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD（10分）
又∵CD=CB，
∴BE=CB．（11分）
由②得四边形BCGE是平行四边形，
∴四边形BCGE是菱形．（12分）

方法二：由①得△AEB≌△ADC，
∴BE=CD．（9分）
又∵四边形BCGE是菱形，
∴BE=CB（11分）
∴CD=CB．（12分）

方法三：∵四边形BCGE是平行四边形，
∴BE∥CG，EG∥BC，
∴∠FBE=∠BAC=60°，∠F=∠ABC=60°（9分）
∴∠F=∠FBE=60°，∴△BEF是等边三角形．（10分）
又∵AB=BC，四边形BCGE是菱形，
∴AB=BE=BF，
∴AE⊥FG（11分）
∴∠EAG=30°，
∵∠EAD=60°，
∴∠CAD=30度．（12分）

Answer 5

（1）证明：①因角EAB＋角BAD＝角BAD＋角DAC＝60度，所以角EAB＝角DAC，又EA＝DA，BA＝CA，故ΔAEB全等于ΔADC。②于是角EBC＝角EBA＋角ABC＝角DCA＋角ABC＝120度。那么角EBC＋角BCG＝120度＋60度＝180度，于是EB//GC，又EG//BC，故BCGE为一平行四边形。 （2）BEGC仍为平行四边形。与（1）类似，容易证明：ΔABE全等于ΔACD，那么角ABE＝角ACD＝120度，于是角CBE＝角ACB＝60度，进而BE//GC，又BC//EG，从而得证。 （3）欲使其成为菱形，只须BE＝BC，又BE＝CD，故只须选取D点使BC＝CD即可.