教学｜数形结合究竟如何运用
一、数形结合可使复杂问题简单化
华罗庚先生曾说，数缺形时少直观，形少数时难入微。形象说明了数形结合的重要性，指出数学问题应从数形相联系入手。数形结合就是把抽象的数学语言与直观的图形结合起来思考，使抽象思维与形象思维结合，通过“以形助教”或“以数解形”，可使得复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。义务教育《数学课程标准》将培养学生用数学解决问题的能力作为重要目标。这给教师在小学数学教学中解决如何从具体事物中抽象出数学问题，如何从感性思维上升到理性思维提出了具体要求。而数形结合思想正是实现该类问题教学的有效例证之一。
长期以来，在教学中数学知识是一条明线，得到数学教师的重视，数学思想方法是一条暗线，容易被教师所忽视。在小学数学教学中，如果教师能有意识地运用数形结合思想来设计教学，将非常有利于学生从不同侧面加深对问题的认识和理解，提供解决问题的方法，也有利于培养学生将实际问题转化为数学问题的能力。在教学三年级下册第8单元《连乘法解决问题》时发现部分学生，特别是年龄较小的学生理解数量关系还存在一定困难。为此，作者经过思考研究，数学课堂趣乐性与思辩性，运用数形结合思想，在生活图片和抽象数学问题中间设置过渡用数学几何图形（抽象图形），既减小学生思维跨度，便于数学问题的进一步理解，又使学生感受学习数学的乐趣。
二、数形结合思想的实践应用
片段一：
用连乘法解决问题是人教版义务教育实验课程三年级下册8单元内容，教材采用了学生排队做操的图案作为引导新知识的开始。
如图1，由于图中没有给出更多的数学信息，呈现的三个方阵不完整，所以当教师问学生们从图中可以发现哪些数学信息以及能提出什么数学问题时，学生的回答千奇百怪，并且对方阵的数量产生了歧义。为什么会出现这些现象呢？设想只花两三分钟的主题切入却花费了将近十分钟时间，并且同学们出现争论，在这里纠缠不清。
图1
片段二：
学生们终于弄清楚主题图的含义，提出合理的数学问题后，用三种方法解决了该问题。 方法一： 10×8×3=240（人）
方法二：10×3×8=240（人）
方法三：10×（3×8）=240（人）
在理解三种方法的意思时，部分学生出现困难，方法二和方法三先求的是什么，后求的是什么？看着抽象的数量，孩子们眉头紧锁，睁着茫然的眼睛看着黑板。
怎样才能让孩子们真正理解数量之间的关系呢？主题图出示的生活图片为什么不能解决孩子们出现的问题？
于是与同教研组的老师们研究，改进，第二次又走进课堂。
首先，将教材中不完整的主题图修改，呈现了三个完整的方阵（见图2），并将文字信息（三个方阵，每个方阵的行列人数等信息）渗透于图中。这个时候孩子们发现信息和收集信息的速度和准确率非常高，很快切入教师预设的主题。
图2
其次，教学中教师把主题图用点子图的形式（图3、图4）发给每个孩子，孩子可以根据自己的要求摆放每张点子图。通过点子图的摆放，孩子化静为动，通过摆放点子图的位置，理解不同方法的含义。再通过对比寻找到三种方法的相同与不同，让孩子们更深刻理解每种方法，提升了孩子们的思维。在孩子们的脸上，看见了喜悦的笑容。
图3
图4
三、数形结合对学生思维提升的表现
课堂结束，我的脑海里不断交互出现上课的情景。为什么同样是生活图片还是让孩子们理解数量关系出现困难？返回到班上问学生，方阵图片和点子图片谁更能让你理解这三种方法。学生都纷纷表示点子图好理解一些，缘由是点子图通过不同的摆放更能感受到数量之间的关系。诚然，根据三年级孩子的年龄特点和思维特点，生活图片到抽象数学问题的跨度太大，学生兴趣和思辨能力跨越该跨度存在不同程度困难。借助几何图形，以形助教，使抽象的问题直观化，有利于学生的思维的提升。
1.引入图形辅助教学，将数学学习融入生活
在数学教学中，无论是数与代数、图形与几何，还是统计与概率等知识处处蕴涵着数形结合的思想。教材借助几何图形的直观来帮助学生理解抽象的概念。生动形象的图形使得抽象的知识变得趣味化、直观化,让学生在学习时,不再感到枯燥乏味,反而能够使学生从中获得有趣的情感体验,让学生主动去探索,把握概念本质。
2.抽象图形辅助教学，使数学学习高于生活
本课中，学生借助点子图，数形结合，化解了数学信息之间的不易理解的困难，通过点子图的拼摆，让抽象的思维形象的呈现，隐藏的数量关系通过“形”的表象就显露出来，学生理解了三种方法之间区别和联系，加深了对每种方法思路的理解，体会数形结合思想在解决问题中的作用。用数形结合策略表示题中量与量之关系，可以达到化繁为简、化难为易的目的。“数形结合”可以借助简单的图形（如统计图）、符号和文字所作的示意图，促进学生形象思维和抽象思维的协调发展，沟通数学知识之间的联系，从复杂的数量关系中凸显最本质的特征。
3.凝练图形辅助教学，形成问题解决教学模式
恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”在教学中，根据不同教学内容充分利用数形结合思想，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。
（1）“以形助数”在直观中理解数
在“数与代数”教学中借助图形的直观性将抽象的数学概念、运算等形象化、简单化，给学生以直观感，让学生以多种感官充分感知，在形成表象的基础上理解数学的本质，解决数学问题。
（2）“以数想形”帮助理解各种公式
在教学有关的数学公式时，如果只是让学生死记公式，这样只会将知识学死。借助图形充分理解公式的含义，使学生知其然，而知所以然。
（3）“数形结合”借助表象发展空间观念
儿童的认知规律，一般来说是从直接感知到表象，再到形成概念的过程，表象介于感知和形成概念之间，抓住这中间环节，促使学生多角度灵活思考，大胆想象，对知识的理解逐步深化，发展学生的空间观念，具有十分重要的意义。
总之，通过引入生活实例，利用数形结合，合理设置数形跨度，即可提高学生们学习数学的兴趣，也让学生在不断的训练中感悟数学思想，丰富学生的思维活动，以提高学生的数学学习能力，又可实现数学教学中的趣乐性与思辨性的实践探索。
在小学数学教学中,如何有意识地利用数与形结合的策略 提高学生的思维素质,培养学生分析间题与解决问题的能力呢?
策略一:以形助数,理解概念 数的产生源于计数,用来表示“数”的工具却是一系列的“形”。数概 的建立、数的运算,处处蕴涵着数形结合的思想方法。如我们在认识整 慧、分数、小数及其加法、减法、乘法、除法的运算时,教材都是借助直观 的几何图形帮助学生理解抽象的数概念。生动、形象的图形能将枯燥的数学 知识趣味化、直观化,让学生从中获得“学习有趣”的情感体验,进而引导 学生进行探索,将兴趣逐渐转化为动力,达到认识概念本质的目的。
由于数学概念具有高度的抽象性和概括性,教学时应尽可能为 学生提供充分的感知材料,“形”的直观性往往决定了其对概念建 构的有效辅助作用。教学中常采用归纳、分类、比较的方法帮助学 生建立数学概念,也可采用数形结合的策略,运用图形的直观性帮 助学生理解抽象的数学概念的内和外延。
策略二:以形助数,感悟算理 数形结合不仅是一种数学思想,也是一种很好的教学方法。对于学生 难以理解和掌握或容易引起混滑和产生错误的教学内容,教师可以充分利 用“形”,把抽象的概念、复余的运算变得形象、直观,丰富学生的表象 引发联想,探索规律,得到结论,不仅知其然,而且知其所以然。
策略三:以形助数,解决问题 在数学教学中,可以通过数形结合的训练,使学生通过直观图，线段图等来帮助解决问题,强化数形对应,把复杂的问题简单化、明 朗化,抽象的问题形象化,以提高学生分析比较、综合运用知识解决 问题的能力。在这一过程中,形象化的图形表达了抽象化的数量关系 为学生在实际问题与算式、分析数量关系与解决问题之间架设了 座桥。