为什么不能直接在(a,b)使用拉格朗日中值定理？

Question

为什么非得找x0呢？直接用不是更快捷？

Answer 1

解：1题，属“∞/∞”型，用洛必达法则，∴k1=2lim(x→∞)e^(2x)/[e^(2x)+1]=2。
2题，∵(sinx)^5=[1-(cos)^2)]^2sinx=[1-2(cos)^2+(cosx)^4]sinx，
∴k2=-15∫(0,π/2)[1-2(cos)^2+(cosx)^4]d(cosx)=8。
3题，由题设条件，D={(x,y)丨-1≤x≤1，-1≤y≤x}，
∴k3=-3∫(-1,1)dx∫(-1,x){y+xye^[(x^2-y^2)/2]}dy。
而∫(-1,x){y+xye^[(x^2-y^2)/2]}dy={(1/2)y^2-xe^[(x^2-y^2)/2]}丨(y=-1,x)=(1/2)x^2-x-1/2+xe^[(x^2-1/2]。又，利用被积函数在x的积分区间是奇、偶函数的性质，
∴k3=-3∫(0,1)(x^2-1)=-3[(1/3)x^3-x]丨(x=0,1)=2。
4题，令y'-y=0，解得y=(c1)e^x。设y=v(x)e^x，代入原方程、经整理，有v'(x)=(1-x^2)e^(-x)。∴v(x)=[(x+1)^2]e^(-x)+c。∴y=(x+1)^2+ce^(-x)。又，y为二次函数，∴c=0。∴k4=4。
5题，由题设条件，D={(x,y)丨y≤x≤π/6，0≤y≤π/6}。交换积分顺序，D={(x,y)丨0≤y≤x，0≤x≤π/6}
∴k5=2∫(0,π/6)dx∫(0,x)(cosx/x)dy=2∫(0,π/6)cosxdx=2sinx丨(x=0,π/6)=1。