如图所示:
令{ }为一个数列,且A为一个固定的实数,如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N,使得对于任意n>N,有| -A|<b恒成立,就称数列{ }收敛于A(极限为A),即数列{ }为收敛数列。
收敛的定义方式很好的体现了数学分析的精神实质。
如果给定一个定义在区间i上的函数列,u1(x), u2(x) ,u3(x)......至un(x)....... 则由这函数列构成的表达式u1(x)+u2(x)+u3(x)+......+un(x)+......⑴称为定义在区间i上的(函数项)无穷级数,简称(函数项)级数。
扩展资料:
绝对收敛:一般的级数u1+u2+...+un+...它的各项为任意级数。
如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛,则称级数Σun绝对收敛。
经济学中的收敛,分为绝对收敛和条件收敛。绝对收敛,指的是,不论条件如何,穷国比富国收敛更快。
条件收敛,指的是技术给定,其他条件一样的话,人均产出低的国家,相对于人均产出高的国家,有着较高的人均产出增长率,一个国家的经济在远离均衡状态时,比接近均衡状态时,增长速度快。
条件收敛:
一般的级数u1+u2+...+un+...它的各项为任意级数。
如果级数Σu各项的绝对值所构成的正项级数Σ∣un∣收敛,
则称级数Σun绝对收敛。
如果级数Σun收敛,而Σ∣un∣发散,则称级数Σun条件收敛。
参考资料:百度百科——收敛
证明数列单调有界即可,有界证明用极限存在定理。
如果数列{Xn},如果存在常数a,对于任意给定的正数q,总存在正整数N,使得n>N时,不等式|Xn-a|<q都成立,就称数列{Xn}收敛于a(极限为a),即数列{Xn}为收敛数列。
证明数列收敛通常是落实到定义上或者证明数列的极限是固定值。比如数列an=a0+1/n,随着n增大,lim(an)=a0,因此可证明数列{an}是收敛的。
相互关系
收敛数列与其子数列间的关系
子数列也是收敛数列且极限为a恒有|Xn|<M
若已知一个子数列发散,或有两个子数列收敛于不同的极限值,可断定原数列是发散的。
如果数列{
}收敛于a,那么它的任一子数列也收敛于a。
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