大学高等数学，求级数的收敛域等问题，要具体步骤

Question

如题所述

Answer 1

lim(n-∞)|a(n+1)/an|=lim（n-∞）|(2n-1)/(2n+1)|=1，所以收敛区间是（-1，1），把-1代入级数的表达式，可知级数化为Σ（-1）^(n-1)/2n-1，这是交错级数，一般项趋于0并且前项绝对值大于后项绝对值，所以收敛。把1代入级数表达式得到Σ（-1）^n/(2n-1)，同理也是收敛的，所以收敛域是[-1,1]
对这个级数求导得到Σ（-1）^n*x^（2n-2）=1/x^2*Σ（-x^2）^n,可以知道-x^2属于-1到1，所以这个级数收敛，所以Σ（-1）^n*x^（2n-2）=1/x^2*Σ（-x^2）^n=1/x^2*1/(1+x^2)=1/(x^2+x^4)，求积分即可。令x=tant，可以求出级数和是-1/x-arctanx