如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD为菱形，AB=1，AA1=62，∠ABC=60°．（1）求证：AC丄BD1（2）求四面

Question

如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1底面ABCD为菱形，AB=1，AA1=62，∠ABC=60°．（1）求证：AC丄BD1（2）求四面体D1AB1C的体积．

Answer 1

解：（1）连结BD，交AC于O点
∵四边形ABCD为菱形，∴AC⊥BD
又∵直四棱柱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，BB₁⊥平面ABCD
∴结合AC?平面ABCD，得BB₁⊥AC
∵BB₁、BD是平面BB₁D₁D内的相交直线，
∴AC⊥平面BB₁D₁D，
∵BD₁?平面BB₁D₁D，∴AC⊥BD₁；
（2）∵菱形ABCD中，AB=1，∠ABC=60°．
∴S_ABCD=AB?BCsin60°=

3

2

∵三棱锥B₁-ABC的底面积等于菱形ABCD的一半，
设与直四棱柱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁相等，
∴三棱锥B₁-ABC的体积V_B1-ABC=

1

6

V_{ABCD-A1B1C1D1}，
同理可得：V_D1-ADC=V_C-B1C1D1=V_A-A1B1D1=

2

8

因此四面体D₁AB₁C的体积为
V=V_{ABCD-A1B1C1D1}-4×

1

6

V_{ABCD-A1B1C1D1}=

1

3

V_{ABCD-A1B1C1D1}=

1

3

×

3

2

×

6

2

=

2

4

．