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高等数学 微分方程,这道题怎么确定原方程的特征根呀
如题所述
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推荐答案 2016-06-14
y''+αy'+βy=γe^xçä¸ä¸ªç¹è§£ä¸º y=e^(2x)+(1+x)e^xï¼æ±Î±ãβãγï¼å¹¶æ±é解ã
解ï¼å°y=e^(2x)+(1+x)e^xæ±å¯¼ï¼
y'=2e^(2x)+e^x+(1+x)e^x=2e^(2x)+(2+x)e^x
y''=4e^(2x)+e^x+(2+x)e^x=4e^(2x)+(3+x)e^x
ä»£å ¥åå¼å¾ï¼
4e^(2x)+(3+x)e^x+α[2e^(2x)+(2+x)e^x]+β[e^(2x)+(1+x)e^x]=γe^x
(4+2α+β)e^(2x)+[3+x+α(2+x)+β(1+x)]e^x=γe^x
(4+2α+β)e^(2x)+[2α+β+3+(α+β)x]e^x=γe^x
两边对åºé¡¹ç³»æ°ç¸çï¼
4+2α+β=0.............(1)
α+β=0......................(2)
2α+β+3=γ..............(3)
å°(2)ä»£å ¥(1)å¼å¾Î±=-4ï¼æ β=4; γ=-8+4+3=-1.
å³åæ¹ç¨ä¸ºï¼y''-4y'+4y=-e^x...........(4)
å ¶é½æ¬¡æ¹ç¨y''-4y'+4y=0çç¹å¾æ¹ç¨r²-4r+4=(r-2)²=0çæ ¹ä¸ºéæ ¹r=2, å æ¤é½æ¬¡æ¹ç¨
çé解为ï¼y=e^(2x)(c₁+c₂x)
äºæ¯å¾åæ¹ç¨(4)çé解为ï¼y=e^(2x)(c₁+c₂x)+e^(2x)+(1+x)e^x
æåæï¼y=(1+c₁+c₂x)e^(2x)+(1+x)e^x.
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第1个回答 2016-06-14
由特解知 特征根为 1, 2, 则 α= -3 , β = 2 。
将特解代入微分方程 y''-3y'+2y = γe^x, 得 γ= -1.
微分方程通解 y = Ae^2x+Be^x+e^2x+(1+x)e^x
即 y = C1e^2x + (C2+x)e^x
追问
特征根是怎么确定的?
追答
特解含 e^2x, e^x, 特征根 为 2, 1
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