先说第一道题,看到这种题第一个就想能被能等价无穷小代换。或者能不能用洛必达法则。这道题明显能不能用等价无穷小。
首先,lim趋于0时,上下都是0,是洛必达法则的0/0型。故上下同时求导;变为e^x-1 /sinx+xcosx.到这步x趋于零上下还是0.故再次进行洛必达法则。再次求导。变为e^x/cosx+cosx-xsinx.到这步。x趋于0时,这个式子等于1/2.答案等于1/2.
第二题
这一题的方法与第一题相同,都是0/0型,都是多次运用洛必达法则。将分号上下多次求导。
第一次求导等于 sec^2(x)-1/1-cosx。求导后,分号上下还是都是0
再次求导等于2sec^2(x)*tanx/sinx.。这次求导后,分号上下还是0
再次求导等于2/cos^2(x)=2
这道题的答案等于2
等价无穷小的替换公式:
当x趋近于0时:
e^x-1 ~ x
ln(x+1) ~ x
sinx ~ x
arcsinx ~ x
tanx ~ x
arctanx ~ x
1-cosx ~ (x^2)/2
tanx-sinx ~ (x^3)/2
(1+bx)^a-1 ~ abx
洛必达法则:
洛必达法则是一种通过分别推导分子和分母,然后在一定条件下求极限来确定不定公式值的方法。众所周知,两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在,也可能不存在。
一、分子和分母趋向于0或无穷大。二、分子和分母在定义的区域内是否分别可导
当两个条件都满足时,再求导并判断求导之后的极限是否存在:若存在,直接得到答案;若不存在,则说明此种未定式无法用洛必达法则解决;如果不确定,即结果仍然为未定式,再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
先说答案,第一问1/2,第二问答案是2。下面是过程
第一个先利用洛必达法则对分子分母分别求导,分子上变为e的x次方-1,分母上变为sinx+xcosx。当x趋近于0时,e的x次方-1等价于x,sinx也等价于x,cosx趋近于1。所以替换一下等价无穷小,分子上变为x分母上变为x+x,所以第一题极限是1/2。
第一问过程
第二问还是先洛必达法则求导,分子变为tan²x+1-1,分母变为1-cosx。已知cos2x=1-2sin²x,所以cosx=1-2sin²(x/2)分母再次化为2sin²(x/2)x趋近于0,tanx等价于x,sinx也等价于x。故分子变为x²,分母变为x²/2,极限为2。
第二问过程