请细讲隐函数的导数。

Question

如题所述

Answer 1

复合函数求导的方法你应该知道吧？
比如对f(x)=(3x²+2x+5)²求导,
第一种方法是将f(x)表达式全部展开,再求导。
f(x)=9x^4+12x³+34x²+20x+25,
f'(x)=36x³+36x²+68x+20,

第二种方法是将f(x)看成是u的函数,u=3x²+2x+5,所以u又是x的函数。
那么f(u)=u²,f'(u)=2u,
而u(x)=3x²+2x+5,u'(x)=6x+2,
f'(x)=f'(u)*u'(x)=2u*(6x+2)=2(3x²+2x+5)*(6x+2),这个表达式展开后和方法一的结果是一样的。

复合函数求导,最关键的是找到一个中间函数u,然后原函数看成u的函数,先对u求导,再用中间函数u对x求导,最后将两步求导的结果相乘就是原函数对x求导的结果。至于这么做的道理你可以去看教科书的解释。其实说穿了不过就是一个约分的缘故。
f'(x)=dy/dx,
而dy/du*du/dx=dy/dx,
所以f'(x)=f'(u)*u'(x)。

回到本题,x²+y²-r²=0,这个隐函数求导时,其中的y²就是一个复合函数。中间函数就是y,当y²对x求导时,第一步y²对y求导,求导的结果是2y,第二步y对x求导,求导的结果是y'。所以y²对x求导的结果是2y*y'。

完整的写出来就是
x²+y²-r²=0,
方程两边同时对x求导
2x+2y*y'=0
y'=-x/y=-x/±√(r²-x²)=±x/√(r²-x²)