奥数题：有16名学生参加一次数学竞赛。

Question

有16名学生参加一次数学竞赛。考题全是选择题，每题有四个选项。考完后发现任何两名学生的答案至多有一道题相同。问：这次竞赛最多有多少道选择题？(标准答案是5)

想请问：
1、此题本身是否有逻辑漏洞？因为假设考试共有N道题，且16名学生中有两名得到满分，则任何两名学生都会有N道题答案相同。
2、按照逻辑来说，我认为正确答案是本考试只有一道题，这样自然“任何两名学生的答案至多有一道题相同。”因为没有更多道题了，符合该题“至多有一道题相同”的要求。不知数学上是否成立?
3、标准答案5，是如何计算出来的？请各位大侠赐教，请详细写出思路。
回复d62666

请仔细看题，我说的就是至多，而且您只是抄袭网上结论，没有回答我前两个问题，谢谢参与。

Answer 1

1、
此题本身没有逻辑漏洞。
“有两名得到满分”的假设不满足题意，
由此得到的结论不能作为判断“原题有逻辑漏洞”的依据。

2、
如果考试只有一道题，
只是满足“任何两名学生的答案至多有一道题相同”的条件，
但并不满足“最多”这个条件，
所以，1道题不是所需要的答案。

3、
16个人回答同一道选择题，且每题有四个选项，
根据抽屉原理，每个人的答案至少和其他三个人的相同。
任选一个人来分析，可得以下推理过程：
①
当他回答第 1 题时，必然和 3 个人（第一组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3×1 = 4 人；
②
当他回答第 2 题时，必然要和第一组共 3 个人的答案都不相同，
（因为要满足任何两名学生的答案至多有一道题相同）
而且必然和另外 3 个人（第二组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3×2 = 7 人；
③
同理可得：
当他回答第 N 题时，必然要和前 (N-1) 组共 3(N-1) 个人的答案都不相同，
而且必然和另外三个人（第 N 组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3N 人；
④
综上所述，当这次竞赛有 N 道选择题时，
N 必须满足不等式： 1+3N ≤ 16 ， 解得： N ≤ 5 ；
即：这次竞赛最多有 5 道选择题。

Answer 2

解题思路:
假设其中一人叫小明
按照你说的,每题有5种可能,则16/5=3.2>3,要想达到题目最多,则小明每道题都有3个人和他的答案一样(即这个选项有4个人选)
当小明答第一题时,最多3人和他相同,此时总共1+3=4人
当小明答第二题时,最多3人和他相同(此3人不同于上面所有人),此时总共1+3*2=7人
当小明答第三题时,最多3人和他相同(此3人不同于上面所有人),此时总共1+3*3=10人
当小明答第四题时,最多3人和他相同(此3人不同于上面所有人),此时总共1+3*4=13人
当小明答第五题时,最多3人和他相同(此3人不同于上面所有人),此时总共1+3*5=16人
所以有5种选项的话,还是最多5道题

Answer 3

题目说至多一题回答相同
但有16个学生 1道题目有4个选择。

那么 可以得出一点 一道题目一个选项 有且只有4个人选择。理由很简单。

因为至多只有一题答案相同 如果超出4人（别说少于4人，少的那个人不得选其他的。。）那么这一选项便是4+N 那么下一题其中一人选择A 那么剩下3个选择则有至少4个人选择，必定有两个人相同 那么这两人必定是两题答案相同 与题目相违背。所以

从题目中就可以得出这点结论 一道选项有且只有四人选择。
然后就好办了。

假设第一题 选择A的四人为 X1选B的四人为X2……
以A1为标准 他选择下一题的选项为X1Y1 那X1在第二题就分别为X1Y1 X1Y2 X1Y3 X1Y4
以下类推
（其实那Y可以取消掉的知道后面数字是什么意思就行了。）
然后根据题目 要求 除了最后一位 比如X1Y2 和X3Y2 X1Y3Z2和X3Y2Z2 前面的编号没有重复。
现在就好做了 只是简单的1234排列 无重复就行了。随便你怎么排 都不可能出现6位的数字 那么明显 至多只有5题

参考资料：http://zhidao.baidu.com/question/113345932.html

Answer 4

题目说至多一题回答相同
但有16个学生 1道题目有4个选择。

那么 可以得出一点 一道题目一个选项 有且只有4个人选择。理由很简单。

因为至多只有一题答案相同 如果超出4人（别说少于4人，少的那个人不得选其他的。。）那么这一选项便是4+N 那么下一题其中一人选择A 那么剩下3个选择则有至少4个人选择，必定有两个人相同 那么这两人必定是两题答案相同 与题目相违背。所以

从题目中就可以得出这点结论 一道选项有且只有四人选择。
然后就好办了。

假设第一题 选择A的四人为 X1选B的四人为X2……
以A1为标准 他选择下一题的选项为X1Y1 那X1在第二题就分别为X1Y1 X1Y2 X1Y3 X1Y4
以下类推
（其实那Y可以取消掉的知道后面数字是什么意思就行了。）
然后根据题目 要求 除了最后一位 比如X1Y2 和X3Y2 X1Y3Z2和X3Y2Z2 前面的编号没有重复。

Answer 5

1、 Re: 假设 16名学生中有两名得到满分，则有两名学生有N道题答案都相同。根据“考完后发现任何两名学生的答案至多有一道题相同”，N只能等于1；

2、 Re: 成立。但题目求解的是“最多有多少道选择题？”，N=1符合题目条件，但还不一定是问题中要求的“最多”，需要进一步求解；

3、 Re: 第一题，16个人回答，只有四个选项，则至少有四个人答案相同； “考完后发现任何两名学生的答案至多有一道题相同”，说明这四个人后面的答案都不相同。