奥数题：有16名学生参加一次数学竞赛。

Question

有16名学生参加一次数学竞赛。考题全是选择题，每题有四个选项。考完后发现任何两名学生的答案至多有一道题相同。问：这次竞赛最多有多少道选择题？
正确答案是5（据网上流传），但是我的意见是，你们都忽视了第5选项，既不填。
既然如此 答案应当是6咯？
网络上的解题过程我看过了， 除了这个以外一切都对

Answer 1

解题思路:
假设其中一人叫小明
按照你说的,每题有5种可能,则16/5=3.2>3,要想达到题目最多,则小明每道题都有3个人和他的答案一样(即这个选项有4个人选)
当小明答第一题时,最多3人和他相同,此时总共1+3=4人
当小明答第二题时,最多3人和他相同(此3人不同于上面所有人),此时总共1+3*2=7人
当小明答第三题时,最多3人和他相同(此3人不同于上面所有人),此时总共1+3*3=10人
当小明答第四题时,最多3人和他相同(此3人不同于上面所有人),此时总共1+3*4=13人
当小明答第五题时,最多3人和他相同(此3人不同于上面所有人),此时总共1+3*5=16人
所以有5种选项的话,还是最多5道题

Answer 2

你认为对的就是对的，相信自己，别听别人的

Answer 3

这题目有点绕!头痛!

Answer 4

1、
此题本身没有逻辑漏洞。
“有两名得到满分”的假设不满足题意，
由此得到的结论不能作为判断“原题有逻辑漏洞”的依据。

2、
如果考试只有一道题，
只是满足“任何两名学生的答案至多有一道题相同”的条件，
但并不满足“最多”这个条件，
所以，1道题不是所需要的答案。

3、
16个人回答同一道选择题，且每题有四个选项，
根据抽屉原理，每个人的答案至少和其他三个人的相同。
任选一个人来分析，可得以下推理过程：
①
当他回答第 1 题时，必然和 3 个人（第一组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3×1 = 4 人；
②
当他回答第 2 题时，必然要和第一组共 3 个人的答案都不相同，
（因为要满足任何两名学生的答案至多有一道题相同）
而且必然和另外 3 个人（第二组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3×2 = 7 人；
③
同理可得：
当他回答第 N 题时，必然要和前 (N-1) 组共 3(N-1) 个人的答案都不相同，
而且必然和另外三个人（第 N 组三个人）答案相同；
此时人数为 1+3N 人；
④
综上所述，当这次竞赛有 N 道选择题时，
N 必须满足不等式： 1+3N ≤ 16 ， 解得： N ≤ 5 ；
即：这次竞赛最多有 5 道选择题