设f（x）在[0，1]上可导，f（0）=0，且存在q∈（0，1），使得|f′（x）|≤q|f（x）|．证明：f（x）≡0

Question

设f（x）在[0，1]上可导，f（0）=0，且存在q∈（0，1），使得|f′（x）|≤q|f（x）|．证明：f（x）≡0．

Answer 1

因为f（x）在[0，1]上连续，所以|f（x）|在[0，1]上连续，
由有界闭区间上连续函数的性质，存在c∈[0，1]，使得
|f（c）|=M=

max

0≤x≤1

|f(x)|．
由微分中值定理得
M=|f（c）|=|f（c）-f（0）|=|f′（ξ）|c，其中ξ介于0与c之间．
又由|f′（c）|≤q|f（x）|得
M=|f′（ξ）|c≤|f′（ξ）|≤q|f（ξ）|≤qM，
因为q∈（0，1）且M≥0，所以M=0，故f（x）≡0．