高一数学 立体几何
正三棱柱ABC-A1B1C1的歌棱长相等,D,E分别为CC1和AB1的中点，点F在BC上且满足BF:FC=1:3.
1. 若M为AB的中点，求证BB1平行于平面EFM
2.求证：EF垂直于BC
3.球二面角A1-B1D-C1的平面角的正切值
注 字母后的数字均为脚标
1.点M是AB的中点。点E是AB1的中点。所以直线ME是三角形ABB1的中位线，所以ME//BB1，又因为ME在平面EFM上，所以BB1平行于平面EFM
2.延长ME交A1B1于N，那么N为A1B1的中点。取B1C1的中点H。连结AH，NF，则AH重直于B1C1。由于BF:FC=1:3，所以点F为B1H的中点。所以NF平行于AH。所以NF垂直于B1C1。又因为MN垂直于底面A1B1C1，所以MN垂直于B1C1。所以直线B1C1垂直于平面ENF。所以直线B1C1垂直于直线EF。因为BC平行于B1C1，所以EF垂直于BC
3.从A1引三角形A1B1D的垂线。垂足为G。连接AG，HG。显然的，AH垂直于平面BB1C1C，所以AH垂直于平面上的直线B1D，又有A1G垂直于B1D，所以B1D垂直于平面A1GH。所以B1D垂直于GH。故角A1GH就是所求的二面角。
注意到三角形A1GH是直角三角形，AH垂直于GH。所以正切值就是A1H除以GH。
假设该三棱柱的棱长是4a,高也是4a.那么有GH等于DC1的一半，而DC1等于CC1的一半。所以GH=a,又有A1H是正三角形的高，而三角形的边长是4a,所以A1H=2根号3a.所以正切值就是2根号三。
2.延长ME交A1B1于N，那么N为A1B1的中点。取B1C1的中点H。连结AH，NF，则AH重直于B1C1。由于BF:FC=1:3，所以点F为B1H的中点。所以NF平行于AH。所以NF垂直于B1C1。又因为MN垂直于底面A1B1C1，所以MN垂直于B1C1。所以直线B1C1垂直于平面ENF。所以直线B1C1垂直于直线EF。因为BC平行于B1C1，所以EF垂直于BC
3.从A1引三角形A1B1D的垂线。垂足为G。连接AG，HG。显然的，AH垂直于平面BB1C1C，所以AH垂直于平面上的直线B1D，又有A1G垂直于B1D，所以B1D垂直于平面A1GH。所以B1D垂直于GH。故角A1GH就是所求的二面角。
注意到三角形A1GH是直角三角形，AH垂直于GH。所以正切值就是A1H除以GH。
假设该三棱柱的棱长是4a,高也是4a.那么有GH等于DC1的一半，而DC1等于CC1的一半。所以GH=a,又有A1H是正三角形的高，而三角形的边长是4a,所以A1H=2根号3a.所以正切值就是2根号三。
温馨提示：答案为网友推荐，仅供参考
第1个回答 2010-05-27
无图无真相
第2个回答 2010-05-27
jian tu
第3个回答 2010-05-27
1。E、M分别为AB1,AB的中点，即EM为三角形ABB1的中位线，所以EM平行BB1
又EM属于面EFM
SO,BB1平行于平面EFM.
2. 作AB的中点M,因为BB1平行于平面EFM，且BB1垂直BC
所以面EFM垂直BC
所以EF垂直BC.
3. 咕~~(╯﹏╰)b 找二面角一直是我的弱项...
不过用空间直角坐标系可以很容易的解出来
又EM属于面EFM
SO,BB1平行于平面EFM.
2. 作AB的中点M,因为BB1平行于平面EFM，且BB1垂直BC
所以面EFM垂直BC
所以EF垂直BC.
3. 咕~~(╯﹏╰)b 找二面角一直是我的弱项...
不过用空间直角坐标系可以很容易的解出来
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