一般地,周长相同,边的数量越多的凸图形面积越大。综上,周长相同,圆(可视为正无穷边形)面积最大。周长相等时,
圆面积>正方形面积>长方形面积>平行四边形面积。
一、先比较长方形和正方形
选定它们周长都为8m,那么该长方形的长为3m,宽为1m,此时该长方形面积为3m²。而正方形的边长为2m,面积为4m²。可知周长相等情况下,正方形面积要比长方形面积大。
如果用中学的方法,可设长方形长为a,宽为b,面积为ab,利用基本不等式ab≤(a²+b²)/2,可知当a=b时,等号才成立,面积才能取得最大值,此时刚好就是正方形。
二、再比较正方形和圆
假定它们周长都是31.4m,那么正方形边长为7.85m,面积为61.625m²。而圆的半径为5m,面积为78.5m²。可知周长相等情况下,
圆的面积要比正方形面积大。
综上,在周长相等的长方形,正方形和圆形中,面积最大的是圆形。
如果是周长相等的正方形,
正五边形,正六边形,那哪个面积更大呢?
从长方形和正方形的比较中,给出拓展:
在周长相等的n边形中,以正n边形的面积最大。
从正方形和圆的比较中,给出拓展:
周长相等的正n边形,n越大,面积越大。因为n越大,越接近圆。