有两种方法可以证明an+(1/an)大于等于2,如下:
算法一:
an必须大于0,根据a+b大于等于二倍的根号下ab,
把an看成a , 把1/an看成b,
故an+(1/an)大于等于二倍的根号下an乘以1/an,等于2
即得出an+(1/an)大于等于2
算法二:
∵数列{an}中,a1=1,an+1=2an-3, ∴an+1-3=2(an-3),a1-3=-2, ∴an+1?3 an?3 =2
∴{an-3}是首项为-2,公比为2的等比数列, ∴an?3=(?2)?2n?1=?2n, ∴an=3?2n.
扩展资料:
算法一运用的是基本不等式的思想,基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。具体内容如下:
算法二运用的是数列的思想,数列(sequence of number)是以正整数集(或它的有限子集)为定义域的函数,是一列有序的数。数列中的每一个数都叫做这个数列的项。排在第一位的数称为这个数列的第1项(通常也叫做首项),排在第二位的数称为这个数列的第2项,以此类推,排在第n位的数称为这个数列的第n项,通常用an表示。
著名的数列有斐波那契数列,三角函数,卡特兰数,杨辉三角等。
参考资料:百度百科-an+(1/an)大于等于2
这是通过基本不等式而得出的。
首先基本不等式为:a+b≥2√ab
替代后则为,an+1/an≥2√(an*1/an)
所以:an+1/an≥2
拓展资料:
基本不等式是主要应用于求某些函数的最值及证明的不等式。
其表述为:两个正实数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数。
公式
变形
参考资料:
首先由(根号a-根号b)^2>=0,得出a+b>=2倍的根号(ab),b为任意数,当b=1/a时,所以有a+1/a>=2。
补充:提问题目中应添加an>0这一个必要条件。
拓展资料:
一个正数与其倒数的和不小于 2 。用数学式子写出来就是:x + 1/x ≥ 2 。
这是均值定理的简单应用,也可以直接证明:x - 2 + 1/x = (√x - 1/√x)^2 ≥ 0 。
均值定理,又称基本不等式。主要内容为在正实数范围内,若干数的几何平均数不超过他们的算术平均数,且当这些数全部相等时,算术平均数与几何平均数相等。
均值定理是高中数学学习中的一个非常重要的知识点,在函数求最值问题中有十分频繁的应用。
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