一道高一解答题（要有过程）

Question

设a>0,f(x)=2^x/a+a/2^x是R上的偶函数。
(1).求a的值.
(2).证明f(x)在(0,正无穷大)上是增函数.

Answer 1

（1） f(-x)=2^(-x)/a+a/2^(-x)=1/a*2^x+2^x*a=2^x/a+a/2^x

对比等号两边的式子，只有a=1/a才能满足题意，a=±1，但是a>0，所以a=1

f(x)=2^x+1/2^x

（2）设x1,x2在(0,+∞)间任意取值，且满足x1<x2

f(x2)-f(x1)=2^x2+1/2^x2-2^x1-1/2^x1
=(2^x2-2^x1)(1-1/2^(x1+x2))

对于2^x2-2^x1，显然由于x2>x1，所以2^x2>2^x1，2^x2-2^x1>0

对于1-1/2^(x1+x2)=[2^(x1+x2)-1]/2^(x1+x2)，由于x1+x2>0，2^(x1+x2)>1，于是1-1/2^(x1+x2)>0

故f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1)

所以f(x)在(0,正无穷大)上是增函数