1.函数 f(x)=e^x-1 上区间[0,ln2]上满足拉格朗？

Question

如题所述

Answer 1

在区间 $[0, \ln 2]$ 上，函数 $f(x) = e^x - 1$ 是连续的，并且在该区间上是可导的。因此，根据拉格朗日中值定理，存在一个点 $c \in (0, \ln 2)$，使得
$$f' (c) = \frac{f(\ln 2) - f(0)}{\ln 2 - 0}$$
首先求 $f' (x)$：
$$f' (x) = e^x$$
然后代入上式：
$$e^c = \frac{e^{\ln 2} - 1}{\ln 2 - 0} = \frac{2}{\ln 2}$$
因此，存在一个 $c \in (0, \ln 2)$，使得 $e^c = \frac{2}{\ln 2}$，满足拉格朗日中值定理。