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如题所述

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推荐答案 2015-07-06

如图,在△ABC中,|AB−→−|=3,|AC−→−|=1，l为BC的垂直平分线且交BC于点D，E为l上异于D的任意一点，F为线段AD上的任意一点。
(1)求AD−→−⋅(AB−→−−AC−→−)的值；
(2)判断AE−→−⋅(AB−→−−AC−→−)的值是否为一常数，并说明理由；
(3)若AC⊥BC,求AF−→−⋅(FB−→−+FC−→−)的最大值。

平面向量数量积的运算
（1）根据向量的平行四边形法则，
AD
=
1
2
(
AB
+
AC
)，所以带入即可求解．
（2）
AE
•(
AB
-
AC
)是否为常数，求出来看一下就可以了．将
AE
=
AD
+
DE
带入即可，因为DE⊥BC，所以
DE
•(
AB
-
AC
)=
DE
•
CB
=0，这样便能求出它的值了．
（3）因为
FB
+
FC
=2
FD
，所以
AF
•(
FB
+
FC
)=2
AF
•
FD
，这时候，
AF
与
FD
共线，且都可以用
AD
表示．设
AF
=λ
AD
，则
FD
=(1-λ)
AD
，所以带入便得到2λ(1-λ)
AD
2，根据条件求出AD的长度即可．
(1)AD−→−⋅(AB−→−−AC−→−)=12(AB−→−+AC−→−)(AB−→−−AC−→−)=12(AB−→−2−AC−→−2)=4=12(AB−→−2−AC−→−2)=4，
(2)AE−→−⋅(AB−→−−AC−→−)=(AD−→−+DE−→−)⋅(AB−→−−AC−→−)=AD−→−⋅(AB−→−−AC−→−)+DE−→−⋅CB−→−=4，
∴AE−→−⋅(AB−→−−AC−→−)的值是一常数。
(3)∵AC⊥BC,|AB−→−|=3,|AC−→−|=1；
∴|BC−→−|=22√,|DC−→−|=2√；
∴|AD−→−|=1+2−−−−−√=3√,设AF−→−=λAD−→−,则FD−→−=(1−λ)AD−→−；
∴AF−→−⋅(FB−→−+FC−→−)=λAD−→−⋅(2FD−→−)=λAD−→−⋅[2(1−λ)AD−→−]=6λ(1−λ)=−6(λ−12)2+32
∴λ=12时,AF−→−⋅(FB−→−+FC−→−)取最大值32.追答