高二数学的空间向量问题~~~急急急！！！

Question

已知空间三个非零向量a,b,c不共面，向量AB=a+2b-c,向量AC=2a+3b+c,向量AD=b-3c，问A,B,C,D,是否共面？如果共面，是否有三点共线的情形...

Answer 1

解：如果ABCD四点共面 则其中一个向量能用另外两个表示 设AB=xAC+yAD
a+2b-c=x*（2a+3b+c）+y*（b-3c） 得到a+2b-c=2x*a+（3x+y）*b+（x-3y）*c 解得x=2分之1 y= 2分之1 则AB=2分之1 *AC+2分之1*AD
所以ABCD四点共面 如果有三点共线的情形 则1）AB=t*AC a+2b-c=t*（2a+3b+c） 无解 2） AB=t*AD a+2b-c=t（b-3c） 无解
3）AC=t*AD 2a+3b+c=t*（b-3c） 无解 所以不存在三点共线的情形.

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Answer 2

非0向量abc不共面可以用abc作为标准，则
A(0,0,0) B(1,2,-1) C(2,3,1) D(0,1,-3)
则向量DC=(-2,-2,-4)与向量AB不平行，所以不共面

Answer 3

2AB-AC=AD
设2AB=AE
因为AD平行等于CE，所以四边形ACED为平行四边形
连接CD交AE于F点，因为对角线互相平分，AE=2AB,所以B点即为F点.....

Answer 4

设两常量 M N
共面的条件是
AB=M*AC+N*AD
即a+2b-c= M(2a+3b+c)+N(b-3c)
解得M=1/2 N=1/2
故可以共面

假设有三点共线的情况
1 A B C 共线 即AB=xAC 无解
2 A B D 共线 即AB=xAD 无解
3 A C D 共线 即AC=xAD 无解
4 B C D 共线 即BC=xBD 得x=-1 （BD=AD-AB BC=AC-AB）
故存在BCD三点共线的情况！