线性代数课后题答案
1. 按行列式定义,计算下列行列式(要求写出过程):
(1) ; (2) ; (3) ;
(4) ; (5) ; (6) .
分析 计算2阶行列式和3阶行列式可用对角线法则.
解 (1) =;
(2) =;
(3) =;
(4) =;
(5) =
;
(6) =.
2. 在6阶行列式中, 下列项应该取什么符号? 为什么?
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解 (1) 因, 所以取正号;
另一种方法是: =, 因, 所以取正号. (2), (3), (4) 也可这样做, 不再列出.
(2) 因, 所以取负号;
(3) 因, 所以取负号;
(4) 因, 所以取正号.
3. 当___, =___时成为5阶行列式中一个取负号的项,为什么?
解 和只能取1,4或者4,1.不妨先假设, 则=, 这个项的符号就是, 不符合要求. 那么当时=, 它和相比就是交换了列指标1和4的位置, 因与相比改变了奇偶性, 所以的符号为负. 故应填.
4. 若是5阶行列式中的一项, 则当___, =___时该项的符号为正, 当___, =___时该项的符号为负, 为什么?
解 此问和问题3类似, 和只能取2,3或者3,2.不妨先假设, 则符号为=, 所以取的是负号. 那么由问题3的分析可知当时符号取正. 所以当时该项的符号为正, 当时该项的符号为负.
5. 写出4阶行列式中包含因子的项, 并指出正负号.
解 参照习题1.1的第6题知, 4阶行列式中包含因子的项有和. 由于，故取正号; ，故取负号.
6. 写出4阶行列式中所有取负号且包含因子的项.
解 类似于第5题可推知, 4阶行列式中包含的项为
取负号;
取正号; (也可由(1)取负号推知(2)取正号)
取负号;
取正号; (也可由(3)取负号推知(4)取正号)
取负号;
取正号. (也可由(5)取负号推知(6)取正号)
所以所求的项为, , .
7. 按行列式定义, 计算下列行列式((4)中, 并均要求写出计算过程):
(1) ; (2) ;
(3) ; (4) .
解 (1)由对角线法则, =
;
(2) 根据定义=.
在行列式的通项中, 只有这一项的因子中不含零, 所以
原式===.
(3) 根据定义=.
在行列式的通项中每一个项中最后三个因子分别取值于行列式最后三行的不同列的三个数, 而行列式最后三行中均只有二个数不为零, 所以这三个因子中至少一个取零.这样行列式的每一项中都含有因子零, 所以每项都为零, 从而行列式为零.
(4) 根据定义=, 该展开式通项中取自的第行, 现在第行中除了外其余元素都为零. 故若, 则对应的行列式展开式中的那一项一定为零, 求和时可不考虑. 因此只要考虑的项. 同样对于行列式的第行中除了和外其余元素都为零, 且因, 从而只能取了. 依次类推, 行列式展开式的所有项中除去列指标对应的项外都为零. 又因为, 所以原式=.
8. 问 =
为什么错? 正确答案是什么?
解 错, 原因在于没有搞清楚4阶行列式定义而把2,3阶行列式的对角线法则误认为对4阶行列式也成立. 4阶和4阶以上的行列式没有对角线法则. 正确答案为:
.
具体解法可参考习题1.4第5题之(3).
9. 若阶行列式中元素均为整数, 则必为整数, 这结论对不对? 为什么?
解 对. 行列式的值是行列式中取自所有不同行不同列的元素乘积的代数和, 而整数经加,减,乘之后仍然为整数.
10. 计算阶行列式.
解 方法一 该行列式的展开式只有一项不为零, 即, 而该项带有的符号为, 所以原式=.
方法二 直接利用第7题第(4)小题的结论得: 原式=.
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