数学问题:(有图)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BB1的中点

Question

1,(有图)在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为AB的中点,N为BB1的中点,O为面BCC1B1的中点

(1)过O点作一直线与AN交于P,与CM交于Q,作出大致图形并写出作法(不必证明)

(2)求线段PQ的长

答案:√14/3

最好解析一下

Answer 1

(1)AN和CM是两条异面直线，过O点作直线要与AN与CM都相交，应在平面内来作，因此，可先由点O、A、N和O、C、M各确定一个平面α、β.(2)当点P、Q作出后，求PQ的长只需解三角形即可.
解：(1)由ON‖AD知，AD与ON确定一个平面α；又O、C、M三点确定一个平面β.
∵三个平面α、β和ABCD两两相交，有三条交线OP、CM、DA，其中交线DA与交线CM不平行且共面.
∴DA与CM必相交，记交点为Q.
∴OQ是α与β的交线.
连结OQ与AN交于P、与CM交于Q，故OPQ即为所求作的直线.
(2)∵ON＝BC/2＝ AQ/2，
∴AP＝2AN/3＝2根号(AB^2+BN^2)/3 ＝(2/3) ×(根号5/2) ＝根号5/3 .
在Rt△PAQ中，PQ＝根号(AP^2+AQ^2) ＝根号(5/9+1)=根号14/3 .