时间序列的几个基本概念:样本自协方差函数 、自协方差函数、自相关函数、偏自相关系数

Question

如题所述

Answer 1

探索时间序列分析的核心概念：样本自协方差函数、自协方差与自相关、以及偏自相关系数

1. 样本自协方差函数：揭示时间序列的波动关联

当面对满足均值遍历性和二阶矩遍历性的平稳时间序列，我们可以从单次观察中洞察其长期趋势。总体平均与时间平均并无二致，让我们计算起核心的样本自协方差：

2. 自协方差函数：信号起伏间的桥梁

自协方差函数是衡量随机信号在不同时间点，如t与t-k，取值之间起伏变化相关程度的量。它是中心化的自相关函数，定义为：

在AR模型中，当我们讨论时间平移后的信号与自身的协方差，会用到以下表达式：

而对于AR序列，通过Yule-Walker方程，我们可以推导出自协方差函数与模型参数的联系，甚至在实际中，通常会用样本自协方差函数来逼近理论值。

3. 自相关函数：时间序列的即时联系

自相关函数揭示了随机信号在不同时间点，如t与t+k，的直接关联。对于零均值的平稳AR序列，它呈现为：

自相关系数的递推公式展示了这种联系的衰减特性，它通常以负指数形式衰减，并带有拖尾效应。

4. 偏自相关系数：剔除中间影响的关联度

偏自相关系数超越了简单的自相关，它考虑了中间k-1个随机变量的影响，定义为：

在中心化平稳AR序列中，通过k阶自回归拟合，我们能得到偏自相关系数的直观表达。Levinson递推公式揭示了其与AR拟合的紧密联系，当k之后，偏自相关系数趋于零，展示了其截尾特性。

深入理解这些基本概念，有助于我们在时间序列分析中准确捕捉信号间的复杂关联，从而做出更精准的预测和决策。在实践中，它们是构建模型和解析信号动态的关键工具。