如何计算曲线旋转体的表面积、体积？

Question

如题所述

Answer 1

计算过程如下：

参数方程为x = (cost)^3，y = (sint)^3。

由对称性可知，所求旋转体的体积V是第一象限内曲线和坐标轴所围成的图形绕x轴旋转一周形成旋转体体积V1的2倍。则可以得到：

星形线的性质

若星形线上某一点切线为T，则其斜率为tan(p)，其中p为极坐标中的参数。相应的切线方程为T: x*sin(p)+y*cos(p)=a*sin(2p)/2 。

如果切线T分别交x、y轴于点x(X,0)、y(0,Y)，则线段xy恒为常数，且为a。

星形线是由半径为a/4的圆在半径为a的内侧转动形成的。在第一象限星形线也可表示为靠在Y轴上一个线段在重力作用下扫过的图形的包络曲线。

Answer 2

曲线旋转体的表面积和体积可以通过以下公式进行计算：

表面积公式：S = ∫2πf(x)*(1+y'^2)dx

体积公式：V = ∫(2πx*f(x)*dx) = 2π∫xf(x)dx

其中，f(x)为曲线函数，x为横坐标。

计算时，首先将a到b的数轴等分成n分，每份宽△x，则函数绕y轴旋转，每一份的体积为一个圆环柱。该圆环柱的底面圆的周长为2πx，所以底面面积约为2πx△x，该圆环柱的高为f(x)，所以当n趋向无穷大时，Vy=∫(2πxf(x)*dx)=2π∫xf(x)dx。

需要注意的是，以上公式仅供参考，具体应用还请您咨询相关数学老师或查阅相关文献。