如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=4，BC=3，点P∈平面CC1D1D，且PD

Question

如图，在组合体中，ABCD-A1B1C1D1是一个长方体，P-ABCD是一个四棱锥．AB=4，BC=3，点P∈平面CC1D1D，且PD=PC=22．（Ⅰ）证明：PD⊥平面PBC；（Ⅱ）求PA与平面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：因为 PD＝PC＝

2

，CD=AB=2，
所以△PCD为等腰直角三角形，所以PD⊥PC．（1分）
因为ABCD-A₁B₁C₁D₁是一个长方体，
所以BC⊥面CC₁D₁D，而P∈平面CC₁D₁D，
所以PD?面CC₁D₁D，所以BC⊥PD．（3分）
因为PD垂直于平面PBC内的两条相交直线PC和BC，
由线面垂直的判定定理，可得PD⊥平面PBC．（6分）
（II）过P点在平面CC₁D₁D作PE⊥CD于E，连接AE
∵平面ABCD⊥平面PCD
∴PE⊥平面ABCD
∴∠PAE就是PA与平面ABCD所成的角，
∵PE=1，AE=

10

∴tan∠PAE=

PE

AE

=

10

10

，
∴PA与平面ABCD所成的角的正切值为

10

10

．