古埃及人约于公元前17世纪已使用分数,中国《九章算术》中也载有分数的各种运算。分数的使用是由于除法运算的需要。除法运算可以看作求解方程px=q(p≠0),如果p,q是整数,则方程不一定有整数解。为了使它恒有解,就必须把整数系扩大成为有理系。
关于有理数系的严格理论,可用如下方法建立。在Z×(Z-{0})即整数有序对(但第二元不等于零)的集上定义的如下等价关系:设p1,p2Z,q1,q2Z-{0},如果p1q2=p2q1。则称(p1,q2)~(p2,q1)。Z×(Z-{0})关于这个等价关系的等价类,称为有理数。(p,q)所在的有理数,记为。一切有理数所成之集记为Q。令整数p对应一于,即(p,1)所在的等价类,就把整数集嵌入到有理数的集中。因此,有理数系可说是由整数系扩大后的数系。
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