求助关于微积分的凑型和变量代换中dx是怎么变的

Question

例如一道题目中，dx变为d(x/2),为什么前面的项就要乘2？
dx变为d(cosx),前面就要除 -sinx
还有一道，设t=(3x+1)的1/3次方，然后x=1/3(t立方-1) 然后为什么dx=t平方dt 了呢？
dx代表什么？

Answer 1

这是“变量替换”
实际上是令t=x/2,那么x=2t了，dx=d(2t)=2dt=2d(x/2)

d(cosx)=-sinx dx，所以dx=-d(cosx)/sinx

如果y是x的函数，那么dy=(y对x的导数)*dx
比如
t=(3x+1)^(1/3)，x=1/3(t^3-1),所以
dx=d[1/3(t^3-1)]=1/3 d(t^3-1) (这实际上是要对(t^3-1)求导数)
=1/3*3*t^2dt
=t^2dt

Answer 2

怎么说呢，跟求导差不多,你反过来想下
2d(x/2)=2(x/2)'dx=dx
-1/sinxd(cosx)=-1/sinx*(cosx)'dx=-1/sinx*(-sinx)dx=dx
x=1/3(t^3-1) 则dx=d[1/3(t^3-1)]=1/3*(t^3-1)'dt=1/3*3*t^2dt=t^2dt