1x2+2x3+3x4+......99x100=?

Question

如题所述

Answer 1

1X2=1*1+1
...
N(N+1)=N^2+N
所以1*2+2*3+.....+N*(N+1)
=1^2+2^2+....+N^2+(1+2+3+....+N)
=N*(N+1)(2N+1)/6+N(N+1)/2
=N(N+1)(2N+1+3)/6=N(N+1)(N+2)/3
所以原式=99*100*101/3=333300

Answer 2

1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+98*99+99*100
=1*2+（2*3+3*4）+（4*5+5*6）+（6*7+7*8）+……+（98*99+99*100）
=2*1²+2*3²+2*5²+2*7²+2*9²+……+2*99²
=2*（1^2+3^2+5^2……+99^2)

而1²+3²+5²+..........(2n-1)²=n(4n^2-1)/3
这里 n=50
1-100所有奇数的平方和=50*(4*50^2-1)/3=166650

所以1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+7*8+……+98*99+99*100
＝166650*2=333300
*表示×号