问一道初三的几何数学题，拜托了，高分！

Question

如图，△ABC中，∠BAC=90°，D是△ABC内一点，且AB=AC=BD，∠ABD=30°，求证AD=CD。（麻烦写清楚过程，谢谢啦）
图片上面的那些字不用管，是我做题的习惯，自己标的。拜托各位了！！！！！

Answer 1

证:在线段BC上取一点E，使得BE=AD，连结DE
由∠BAC=90°，且AB=AC=BD，∠ABD=30°知
∠CAD=∠DBE=15°
又BE=AD,BD=AC
所以△DBE全等于△CAD
所以∠ACD=∠BDE,DC=DE,即∠DCE=∠DEC=∠DBE+∠BDE=15°+∠ACD
又45°=∠ACB=∠DCE+∠ACD=15°+2∠ACD
所以∠ACD=15°=∠DAC
即AD=CD

Answer 2

证明：过A点作AE⊥BD于E 过D点作DF⊥AC于F
因为∠AEB=90°，∠ABD=30°
所以∠BAE=60°
因为∠ABD=30°，AB=BD
所以∠BAD=∠ADB=75°
所以∠DAE=15°
因为∠AEB=90°∠BAD=75°
所以∠CAD=15°
因为∠DAE=∠CAD，∠AED=∠ADF=90°AD=AD
所以△AED全等于△AFD
所以AE=AF
因为AE=1/2AB
又因为AB=AC=BD
所以AF=1/2AC
所以AF=FC
因为DF⊥AC
所以AD=DC
应该够清楚了吧！

Answer 3

证明：做BD的延长线交AC于O如附图

     设AO=a，由于△BAO为直角三角形，且∠ABD=30°

     所以，AB=√3a，BO=2，则OC=√3a-1

     所以OC/OB=OD/OC,又因为∠BOC=∠COD

     所以△BOC相似于△COD

     所以∠OBC=∠OCD=15°(15°由题可知)

     由题意可知∠DAC=15°

     所以∠DAC=∠OCD

     所以△DAC为等腰三角形，所以AD=CD.

打字不好打，汗~~

Answer 4

直角三角形中30度所对的角才是斜边的一半。

在BC上取一点E使角BED=ADC，延长AD交BC于F
BD=AC，DBE=CAD
所以三角形BED全等于三角形ADC
所以ED=CD
所以DEC=DCE，ADC+FDC=ADC+FCD（BED=ADC）
所以FDC=FCD=30度
所以ACD=15°=CAD
所以AD=CD

Answer 5

取AC的中点为E
过D作AB的垂线交AB于F

连接DE,DF
因角ABD=30度，所以DF=1/2AB=AE
所以DE平行ab
所以de垂直于ac
所以de是ac的中垂线
所以dc=AD

Answer 6

打字慢 30度所对的边等于斜边的一半 BD=AD BD=CD所以BD=CD