大一高等数学全微分一道题 第八题。求具体过程

Question

如题所述

Answer 1

解：
根据题意，易知，该函数的二阶偏导存在且连续
因为：
∂²z/∂x∂y = x+y
因此，对上式求关于y的积分，则：
∫∂²z/∂x∂y dy = ∫(x+y)dy = xy+(y²/2)+φ1(x)+C1，φ1(x)是关于x的函数，C1是常数项
所以：
∂z/∂x=xy+(y²/2)+φ1(x)+C1
同理对上式求关于x的积分，则：
∫∂z/∂x dx
= ∫[xy+(y²/2)+φ1(x)+C1]dx
= (x²y)/2+ (xy²)/2 + ∫φ1(x)dx +C1x+φ2(y)+C2，φ2(y)是含有y的函数，C2是常数项
因此：
z(x,y) = (x²y)/2+ (xy²)/2 + ∫φ1(x)dx +C1x+φ2(y)+C2
又
z(x,0)=x，则：
∫φ1(x)dx +C1x+φ2(0)+C2=x
上式两边求导，则：

φ1(x) = 1-C1
φ1(x)是常数函数
z(0,y)=y²，则：
∫φ1(0)dx +φ2(y)+C2=y²
φ1(0)x+φ2(y)+C2=y²

显然：
φ1(0)=0
φ2(y)=y²-C2
因此：
z(x,y)=(x²y)/2+ (xy²)/2 + x + y²