用赋值法求函数解析式 如题：已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y

Question

用赋值法求函数解析式

如题：已知函数f(x)对任意的实数x,y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+2y(x+y)+1,且f(1)=1，若xN+，试求f(x)的表达式。
答
令y=1
f(x+1)=f(x)+2x+4
所以
f(2)=f(1)+2×1+4
f(3)=f(2)+2×2+4
f(4)=f(3)+2×3+4
依此规律：
f(x)=f(x-1)+2(x-1)+4
左边相加=右边相加
所以f(x)=x+3x-3 （x∈N+）

f(2)+f(3)+f(4)+……+f(x)=f(1)+f(2)+……+f(x-1)+2(1+2+3+……+x-1)+4(x-1)
f(x)=f(1)+x-x+4x-4
=1+x-x+4x-4
=x+3x-3

倒数第三行f(x)=f(1)+x-x+4x-4
=1+x-x+4x-4
=x+3x-3
为什么是f(x)？

Answer 1

f(2)+f(3)+f(4)+……+f(x)=f(1)+f(2)+……+f(x-1)+2(1+2+3+……+x-1)+4(x-1)

左边 f(2)+f(3)+f(4)+……+f(x-1)+f(x)
右边f(1)+ f(2)+…… +f(x-1) +2(1+2+3+……+x-1)+4(x-1)
f(2)...f(x-1)相消
左边只剩下f(x)
右边为f(1) + 2(1+2+3+……+x-1)+4(x-1) = 1+x(x-1)+4x-4 = x^2-x+4x-3=x^2-3x-3追问

f(2)+f(3)+f(4)+……+f(x)=f(1)+f(2)+……+f(x-1)+2(1+2+3+……+x-1)+4(x-1)
f(x)=f(1)+x-x+4x-4
=1+x-x+4x-4
=x+3x-3
这里不理解

恍然大悟

会了会了！

追答

等式左右都有f(2)+f(3)+f(4)+……+f(x-1) 所以，可以消去啊，消完之后的结果就是

f(x)=f(1) + 2(1+2+3+……+x-1)+4(x-1)
= 1+x(x-1)+4x-4
= x^2-x+4x-3
=x^2-3x-3

你那个写错了，第一个x应该是x的平方

追问

有平方呀

你显示不出来？

追答

嗯，我看不到平方。 不过，你看明白就好了。祝学习进步