数列中sn比s2n的定值什么意思？

Question

如题所述

Answer 1

如果一个数列的第 $s_n$ 项与它的前 $2n$ 项之和（即 $s_{2n}$）相比有定值，那么这个数列可以被称为具有“$s_n$ 比 $s_{2n}$ 的定值”的性质。
例如，如果对于某个数列 $\{a_n\}$，我们知道：
$$
s_n = \frac{n}{n+1},~ s_{2n} = \frac{2n}{2n+1}
$$
那么我们可以计算出：
$$
\begin{aligned}
\lim_{n \to \infty} \frac{s_n}{s_{2n}} &=
\lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)(2n+1)}{(2 n +3) n} \\
&
$$
= \lim_{n \to \infty} \frac{2n^2+3n+n+1}{2 n^2 + 3 n} = \lim_{n\to\infty}\left(1+\frac{1}{4n^2}\right) = 1
$$
因此，我们可以得出结论：对于这个数列 $\{a_n\}$，它具有“$s_n$ 比 $s_{2n}$ 的定值”的性质。也就是说，$\dfrac{s_n}{s_{2n}}$的极限为一个常数（即 $1$），而不是随着 $n$ 的增大而变化。
这种性质在数学中很重要，并且在各种应用中都有广泛的运用。